Universit´e Paris Diderot Arithm´etique – Ann´ee 2011-12 ENS Cachan
M1 math´ematiques
Feuille d’exercices 6 Le th´eor`eme de Chebotarev
1. SoitP ∈Z[X] de degr´ed. Supposons que la r´eduction modulopde P admet une racine au moins dans Fp pour tout nombre premierp. Le polynˆomeP admet-il n´ecessairement une racine dansQ?
2. Supposons que la r´eduction modulopde P est r´eductible dansFp[X] pour tout nombre premier p. Le polynˆomeP est-il r´eductible surQ? (Consid´ererP(X) =X4+ 1.)
3. Supposons que la r´eduction modulopdeP est scind´ee dansFp[X] pour tout nombre premierp. Montrer queP est scind´e surQ.
4. Supposons d´esormaisP irr´eductible. Soit K un corps de d´ecomposition de P. Notons Gle groupe de Galois de l’extensionK|Q. Montrer queGop`ere transitivement sur l’ensemble T des racines deP.
5. Montrer qu’il y a une infinit´e de nombres premiersptels que la r´eduction modulopdeP est scind´ee sur Fp. Que peut-on dire de la densit´e de l’ensemble de tels nombres premiers ?
6. Supposons que tout nombre premier pdeQ est totalement d´ecompos´e dans K (i.e. est produit de |G|
id´eaux premiers dansOK). Quel est l’ordre du pˆole ens= 1 de la fonction ζK de Dedekind ?
7. SoitGun groupe fini op´erant transitivement sur un ensembleE de cardinal>1. Prouver qu’il existe un
´
el´ementg∈Gqui ne fixe aucun ´el´ement deE. Notons Sele stabilisateur d’un ´el´ement edeE. D´emontrer que l’ordre deSe est ´egal `a|G|/|G.e|.
8. Lorsque p un nombre premier non ramifi´e dans K, d´emontrer que la r´eduction modulo p de P admet une racine dansFp si et seulement si il existe une placeP deQau-dessus deptelle que la substitution de Frobenius enP laisse fixe une racine de P dansK.
9. En d´eduire queP ne peut admettre de racine dans Fp pour tout nombre premier p.
10. Soitx une racine deP. Montrer queQ(x) =K si et seulement la densit´e de l’ensemble des nombres premiers totalement d´ecompos´es dansQ(x) est 1/d.
11. SoientP etQdeux polynˆomes irr´eductibles deZ[X] de degr´ed. Consid´erons l’ensembleT des nombres premiersptels que les r´eductions modulo pdeP etQont mˆeme nombre de racine dans Fp. Montrer qu’il existe >0 tel que siT est de densit´e>1−,P etQont mˆeme corps de d´ecomposition.
