Remarque. Si P est irr´ eductible et si P (a) = 0 alors P = u(X − a) o` u u est inversible dans A ; la r´ eciproque est fausse (X 4 + 1 sur R ).

Alg` ebre 14 – Polynˆ omes irr´ eductibles ` a une ind´ etermin´ ee. Corps de rupture.

Exemples et applications.

On note A un anneau commutatif int` egre de corps K.

1. Polynˆ omes irr´ eductibles et racines D´ efinition. On dit que P ∈ A[X ] est irr´ eductible sur A si P n’est pas inversible et si toute ´ egalit´ e P = QR avec Q, R ∈ A[X] implique que Q ou R est inversible dans A[X].

Remarque. Si P est irr´ eductible et si P (a) = 0 alors P = u(X − a) o` u u est inversible dans A ; la r´ eciproque est fausse (X ⁴ + 1 sur R ).

Exemple. Les polynˆ omes irr´ eductibles sur R sont ceux de la forme X − a ou X ² + pX + q avec p ² − 4q < 0.

Crit` ere d’Eisenstein. Soit P = a 0 + · · · + a n X ⁿ ∈ Z [X ] et p un nombre premier. Si p ne divise pas a n mais divise a 0 , a 1 , . . . , a _n−1 et si p ² ne divise pas a 0 alors P est irr´ eductible sur Q .

Exemple. X ⁿ − 2 est irr´ eductible sur Q

Proposition. Si A est factoriel alors les polynˆ omes irr´ eductibles sur A sont les constantes irr´ eductibles et les polynˆ omes dont le pgcd des coefficients est inversible et qui sont irr´ eductibles sur K.

Exemple. X ⁿ − 2 est irr´ eductible sur Z

Application. Si A est factoriel alors A[X] est factoriel.

En particulier, K[X ] est factoriel.

Application. On dit que u ∈ L(E) est semi-simple si u v´ erifie les conditions ´ equivalentes suivantes

(i) tout sous-espace de E stable par u admet un suppl´ ementaire stable par u

(ii) µ _u est sans facteur carr´ e.

En particulier, u ∈ L( R ⁿ ) est semi-simple si et seule- ment si u est diagonalisable dans L( C ⁿ ).

D´ efinition. Soit A ⊂ B deux anneaux et b ∈ B. On dit que b est alg´ ebrique sur A s’il existe P ∈ A[X ] tel que P (b) = 0 ; si de plus le polynˆ ome P est unitaire alors b est dit entier sur A.

Remarque. Si A = K alors les notions co¨ıncident.

Exemple. √

2 est entier sur Z

Proposition. L’ensemble des ´ el´ ements de B entiers sur A est un anneau ; l’ensemble des ´ el´ ements de L alg´ ebriques sur K est un corps.

Exemples. p

5 + √

6 est entier sur Z . L’ensemble des

´

el´ ements de C alg´ ebriques sur Q est un corps not´ e Q . D´ efinition. Soit α ∈ L alg´ ebrique sur K, on appelle polynˆ ome minimal de α sur K le polynˆ ome unitaire de K[X ] de plus bas degr´ e qui s’annule en α ; on le note Irr(α, K).

Application. Si K ( K(α) = L alors le degr´ e d de Irr(α, K) est le degr´ e de l’extension L/K (i.e. la dimen- sion de L comme K-espace vectoriel) et {1, α, . . . , α ^d−1 } est une K-base de L.

2. Adjonction de racines

D´ efinition et proposition. Si P est irr´ eductible sur K alors il existe une extension L de K telle que P a une racine dans L et L = K(α). On dit que L est le corps de rupture de P sur K.

Exemple. Corps de rupture de X ² + 1 sur R .

Exemple. Les corps de rupture de X ³ − 2 sur Q sont Q

√ 2 , Q j √

2

et Q j ² √

2

.

Si ϕ : K → K ⁰ est un morphisme de corps, on pose ϕ p : K[X] → K ⁰ [X],

n

X

k=0

a k X ^k 7→

n

X

k=0

ϕ(a k )X ^k . Si P est irr´ eductible alors P ⁰ = ϕ p (P) est irr´ eductible.

Proposition. Soit ϕ : K → K ⁰ un isomorphisme, P irr´ eductible sur K et deux corps de rupture K(α) et K ⁰ (α ⁰ ) de P sur K et de P ⁰ sur K ⁰ . Il existe un unique isomorphisme ϕ : K(α) → K ⁰ (α ⁰ ) qui prolonge ϕ et tel que ϕ(α) = α ⁰ .

Soit L et L ⁰ deux extensions de K alors ϕ : L → L ⁰ est un K-homomorphisme si ϕ(x) = x pour tout x ∈ K.

Corollaire. Si K(α) et K(β ) sont deux corps de rup- ture de P alors il existe un unique K-isomorphisme K(α) → K(β ) transformant α en β.

Exemple. “Unicit´ e” du corps C . Exemple. Les corps Q

√ 2

, Q j √

2

et Q j ² √

2 sont Q -isomorphes.

D´ efinition et proposition. Si P ∈ K[X ] est unitaire et de degr´ e n alors il existe une extension K(α ₁ , . . . , α _n ) de K telle que P = (X−α 1 ) · · · (X−α n ) et appel´ ee corps de d´ ecomposition de P sur K.

Exemple. Q j, √

2

est un corps de d´ ecomposition de X ³ − 2 sur Q .

Proposition. Soit ϕ : K → K ⁰ un isomorphisme, P de degr´ e n ≥ 1, L et L ⁰ deux corps de d´ ecomposition de P sur K et de P ⁰ sur K ⁰ . Alors il existe un isomorphisme ϕ : L → L ⁰ qui prolonge ϕ.

Corollaire. Deux corps de d´ ecomposition d’un po- lynˆ ome non constant sont isomorphes.

Application (corps finis). Soit p un nombre premier et f ≥ 1, on note q = p ^f et F p = Z /p Z .

(i) Il existe un unique corps F q ` a q ´ el´ ements : il s’agit du corps de d´ ecomposition de X ^f −X sur F p .

(ii) Si Π(n, q) est le nombre de polynˆ omes unitaires de degr´ e n irr´ eductibles sur F q alors

Π(n, q) = q ⁿ n + O

q ^n/2 n

.

3. Extensions alg´ ebriques

D´ efinition et proposition. K est alg´ ebriquement clos s’il v´ erifie les conditions ´ equivalentes suivantes :

(i) tout polynˆ ome de K[X] est scind´ e sur K (ii) tout polynˆ ome non constant de K[X ] admet au

moins une racine dans K

(iii) les polynˆ omes irr´ eductibles sur K sont les po- lynˆ omes de degr´ e 1

(iv) si L/K est alg´ ebrique alors L = K

Exemple. C est alg´ ebriquement clos mais ce n’est pas le cas de Q , R et F p .

D´ efinition. On dit qu’une extension Ω d’un corps K est une clˆ oture alg´ ebrique de K si Ω est alg´ ebriquement clos et si l’extension Ω/K est alg´ ebrique.

Exemples. C est la clˆ oture alg´ ebrique de R , Q celle de Q , [

n≥1

F p

celle de F p .

Th´ eor` eme de Steinitz. Tout corps poss` ede une clˆ oture alg´ ebrique.

Proposition. Soit ϕ : K → K ⁰ un isomorphisme, Ω et Ω ⁰ deux clˆ otures alg´ ebriques de K et K ⁰ . Alors ϕ se prolonge en un isomorphisme de Ω sur Ω ⁰ .

Corollaire. Deux clˆ otures alg´ ebriques d’un mˆ eme corps sont K-isomorphes.

D´ efinition. Soit L une extension de K.

(i) Un ´ el´ ement α ∈ L alg´ ebrique sur K est s´ eparable sur K si α est une racine simple de Irr(α, K).

(ii) Une extension alg´ ebrique L de K est s´ eparable si tout α ∈ L est s´ eparable sur K.

(iii) K est dit parfait si toute extension alg´ ebrique de K est s´ eparable.

Exemples. Les corps de caract´ eristique nulle et les corps finis sont parfaits.

Remarque. Si Ω est une clˆ oture alg´ ebrique de K alors l’extension Ω/K est s´ eparable si et seulement si K est parfait.

On dit qu’une extension L/K est simple s’il existe un

´

el´ ement α ∈ L tel que L = K(α). On dit alors que α est un ´ el´ ement primitif de l’extension.

Th´ eor` eme de l’´ el´ ement primitif. Si α ₂ , . . . , α _n sont s´ eparables sur K alors L = K(α ₁ , . . . , α _n ) est une ex- tension simple de K.

Application. Pour tout n ≥ 1, on peut ´ ecrire F q

= F q (α) et Irr(α, F q ) est de degr´ e n et irr´ eductible sur F q .

4. Applications

4.1. Racines de l’unit´ e et polynˆ omes cycloto- miques.

D´ efinition. ζ ∈ K est une racine n-` e de l’unit´ e si ζ ⁿ = 1 ; on pose U _n (K) = {ζ ∈ K ; ζ ⁿ = 1}.

Exemple. U _n ( C ) = n

e

; 0 ≤ k ≤ n − 1 o .

Soit K _n un corps de d´ ecomposition de X ⁿ − 1 sur K ; on suppose que la caract´ eristique ne divise pas n.

Proposition. U n (K n ) ' Z /n Z

D´ efinition. ζ ∈ U n (K n ) est une racine primitive n-` e de l’unit´ e si ζ engendre U n (K n ) ; on note U n (K n ) <sup>◦</sup> l’en- semble des racines primitives n-` e de l’unit´ e.

On a |U n (K n ) ^◦ | = ϕ(n) et, si k ≥ 1 et ζ ∈ U n (K n ) ^◦ alors ζ ^k ∈ U n (K n ) ^◦ si et seulement si k ∧ n = 1.

Proposition. U n (K n ) = G

d|n

U d (K n ) ^◦

D´ efinition. Le n-` e polynˆ ome cyclotomique sur K est φ n,K = Y

ζ ∈U

(K

)

(X − ζ).

Proposition. On a X ⁿ − 1 = Y

d|n

φ _d,K .

Soit θ : Z → K, n 7→ n.1 K et P sous-corps premier de K Proposition. φ _n,K = θ _p (φ _{n, Q} ) ∈ P [X ] et φ _{n, Q} ∈ Z [X ] Exemples. φ _{1, Q} = X − 1, φ _{2, Q} = X ² − 1, φ _{3, Q} = X ² +X +1, φ _{4, Q} = X ² +1, φ _{5, Q} = X ⁴ +X ³ +X ² +X +1, φ _{6, Q} = X ² − X + 1, . . .

Proposition. φ n, Q est le polynˆ ome minimal d’une ra- cine primitive n ^{` e} de l’unit´ e (⇒ irr´ eductible sur Q ).

Remarque. φ _n,K n’est pas toujours irr´ eductible sur K (φ 4, F

= X − 2

X + 2 ).

Corollaire. Si ζ ∈ U n ( C ) ^◦ alors [ Q (ζ) : Q ] = ϕ(n).

Corollaire. Q (ζ) est le corps de d´ ecomposition de X ⁿ − 1 sur Q .

4.2. Corps de nombres alg´ ebriques.

D´ efinition. Un corps de nombres est un sous-corps de C de degr´ e fini sur Q ; si l’extension est de degr´ e 2, on dit qu’il s’agit d’un corps quadratique.

On note O K l’anneau des ´ el´ ements de K entiers sur Q . Proposition. Soit K = Q ( √

d) o` u d est sans facteur carr´ e alors

(i) l’anneau O K des entiers de K est – Z [ √

d] si d ≡ 2, 3 mod 4 – Z [ ¹⁺

√ d

2 ] si d ≡ 1 mod 4

(ii) si d < 0 alors les inversibles de O _K forment un groupe cyclique,

(iii) si d > 0 alors les inversibles positifs de O _K forment un groupe isomorphe ` a Z .

D´ eveloppements Endomorphismes semi-simples.

Polynˆ omes irr´ eductibles sur F q . Irr´ eductibilit´ e de φ n, Q .

R´ ef´ erences

[1] S. Francinou et H. Gianella, Exercices d’alg` ebre 1, Masson, 1993.

[2] X. Gourdon, Alg` ebre, Ellipses, 1994.

[3] I. Gozard, Th´ eorie de Galois, Ellipses, 1997.