b) Montrer que si ω ∈ Γ(X, Ω

GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 3

ANDREAS HÖRING

1. Soit X une surface compacte (c’est-à-dire une variété complexe compacte de dimension 2).

a) Soit ω une 2-forme globale de type (2, 0). Montrer que Z

X

ω ∧ ω > 0.

b) Montrer que si ω ∈ Γ(X, Ω

) est une k-forme holomorphe, alors dω = 0.

c) Soit f : X → C une fonction différentiable qui satisfait ∂∂f = 0. Montrer que f est constante.

Indication : montrer que dans un voisinage de coordonnées f est pluriharmonique.

Déduire que si [ω] ∈ H

(X) tel qu’il existe une fonction différentiable f avec ω = ∂f, alors ω = 0. Montrer qu’on a une inclusion

H

(X ) , → H

(X ), ω 7→ [ω].

d) Montrer que si ω ∈ H

(X) tel qu’il existe η ∈ C

(X, Ω

) avec ω = ∂η, alors ω = 0. Déduire qu’on a une inclusion

H

(X ) , → H

(X ), ω 7→ [ω]

e) Montrer qu’on a des inclusions

H

(X) , → H

(X, C ), ω 7→ [ω]

et

H

(X) , → H

(X, C ), ω 7→ [ω].

Pour k = 1, 2, on peut donc identifier H

(X ) à un sous-espace de H

(X, C ) = H

(X, R ) ⊗ C . Montrer que

H

(X) ∩ H

(X) = 0.

Déduire que pour toute surface compacte

2h

6 b

6 2h

. Donner un exemple où les inégalités sont strictes.

Indication : pour la deuxième inégalité, on peut considérer la suite exacte 0 → C → O

→

Z

→ 0, où Z

est le faisceau des 1-formes holomorphes d-fermées.

Date: 15th November 2009.

1

2. Soit X une variété complexe. Montrer que si L est un fibré en droites holomorphe et E un fibré vectoriel holomorphe de rang r, alors

c

(E ⊗ L) = c

(E) + rc

(L).

3. (Métrique de Fubini-Study) Posons

f : C

\ 0 → R , f (z) = log(

n

X

j=0

|z

|

).

a) Montrer que f est plurisousharmonique.

b) Montrer que i∂∂f induit une (1, 1)-forme ω sur P

qui est d-fermée.

c) Montrer que f peut être vu comme le poids d’une métrique h sur O

(1) telle que (O

(1), h) est positif.

4. Soit X une variété complexe de dimension n et soit D ⊂ X une hypersurface lisse, c’est-à-dire une union disjointe de sous-variétés complexes de codimension un.

a) Soit (U

)

un recouvrement de X par des voisinages de coordonnées. Soit f

∈ O

des équations locales pour D, i.e.

D ∩ U

= {x ∈ U

| f

(x) = 0}

et df

(x) 6= 0 pour tout x ∈ D ∩ U

. On définit des applications méromorphes sur U

∩ U

g

:= f

f

.

Montrer que g

s’étend en une application holomorphe sur U

∩ U

qui est non- nulle pour tout x ∈ U

∩ U

.

Montrer que (g

)

est un 1-cocyle de Čech de O

. On pose O

(D) ∈ Pic(X )

pour le fibré en droites holomorphe correspondant. Montrer que la définition ne dépend pas du choix du recouvrement et des équations locales.

b) Soit I

⊂ O

le faisceau d’idéaux de D dans X , c’est-à-dire pour tout U ⊂ X ouvert

I

(U ) := {s ∈ O

(U) | s(x) = 0 ∀ x ∈ D ∩ U }.

Montrer que si U

est un voisinage de coordonnées, alors I

|

= f

O

. En déduire que

I

= O

(D)

. On a donc une suite exacte

0 → O

(D)

→ O

→ O

→ 0

c) Soit L → X un fibré en droites holomorphe, et soit σ ∈ Γ(X, L) une section non-nulle telle que

D := {x ∈ X | σ(x) = 0}

est lisse. Montrer que L ' O

(D).

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