Montrer que Ω est une partie ouverte de R.

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés globales des fonctions continues

1.

^(Egc01)

Une partie A de R est dite ouverte si et seulement si, pour tout a ∈ A , il existe α > 0 tel que ]a −α, a +α[⊂

A . Soit f une fonction continue dans R pour laquelle l'ensemble Ω des x ∈ R tels que f (x) > 0 est non vide.

Montrer que Ω est une partie ouverte de R.

2.

^(Egc02)

Montrer qu'une fonction continue et périodique est bornée.

3.

^(Egc03)

Soit f dénie dans R, continue en 0 et telle que

∀(x, y) ∈ R

^,

f (x + y) = f (x) + f (y)

Montrer que f est continue dans R.

4.

^(Egc04)

Soit f continue sur [a, b[ qui diverge en b vers +∞ . Montrer que, pour tout A > f(a) , il existe c ∈ [a, b[ tel que f (c) = A .

5.

^(Egc05)

Soit p et q réels strictement positifs et f continue dans [a, b] . Montrer qu'il existe c ∈ [a, b] tel que

pf(a) + qf(b) = (p + q)f (c)

6.

^(Egc06)

Montrer qu'une fonction continue dans R qui di- verge vers +∞ en +∞ et −∞ est minorée et atteint sa borne inférieure.

7.

^(Egc07)

Soit f ∈ C([0, 1] , R ) telle que f(0) = f (1) = 0 et

∀x ∈

0, 7 10

, f (x + 3

10 ) 6= f(x).

Montrer que f s'annule au moins 7 fois.

8.

^(Egc08)

Autour du théorème de la corde universelle

¹

. Soit a < b et v xés et C l'ensemble des fonctions f continues sur [a, b] telles que f (a) = f (b) = v .

On dénit T

f

⊂ ]0, b − a] par :

T ∈ T

_f

⇔ ∃x ∈ [a, b − T ] tq f (x + T ) = f (x).

a. Soit f ∈ C tel que min

[a,b]

f < l avec x

min

∈ ]a, b[

tel que min

[a,b]

f = f (x

min

) . On note α = min(x

min

− a, b − x

min

).

Montrer que ]0, α] ⊂ T

f

. b. Montrer que

∀f ∈ C, ∃α > 0 tq ]0, α] ⊂ T

_f

. c. Montrer que

∀n ∈ N

^∗

, b − a

n ∈ \

f∈C

T

f

.

On pourra considérer

f (a + b − a

n ) − f (a)

+

f (a + 2 b − a

n ) − f (a + b − a n )

+ · · ·

1Paul Lévy. Sur une généralisation du théorème de RolleC. R. Acad.

Sci., Paris, 198 (1934) 424425

d. Ici a = 0 , b = 1 . Soit T > 0 . Soit ϕ une fonction continue sur R, périodique de plus petite période strictement positive T et vériant

ϕ(0) = 0, ∀t ∈ ]0, 1[ , ϕ(t) > 0.

Donner un exemple de fonction ϕ . On dénit f par

∀x ∈ [0, 1] , f (x) = ϕ(x) − xϕ(1).

Montrer que f ∈ C . Montrer que

T ∈ \

f∈C

T

f

⇒ ∃n ∈ N

^∗

tq T = b − a n .

e. Préciser T

_f

pour f la restriction notée f de sin sur [0, 3π] .

9.

^(Egc09)

Montrer qu'une fonction continue dans R et ad- mettant des limites nies en +∞ et en −∞ est bornée.

10.

^(Egc10)

Soit f une fonction continue de [0, 1] dans [0, 1]

telle que f ◦ f = f . On note E

f

= {x ∈ [0, 1] , f (x) = x} . Montrer que E

f

est non vide et que c'est un intervalle.

11.

^(Egc11)

Soit I = [a, b] et f continue dans I . On dénit des fonctions F et G dans I par :

∀x ∈ I : F (x) = sup

[a,x]

f, G(x) = inf

[a,x]

f

a. Montrer que F et G sont monotones (préciser le sens).

b. Montrer que

F (I) =

f (a), max

[a,b]

f

puis que F est continue. Montrer de même que G est continue en précisant son image.

c. On suppose maintenant que l'intervalle I est tou- jours fermé en son extrémité gauche a mais il peut être borné ou non, fermé ou non en son extrémité droite. Montrer que les fonctions F et G sont bien dénies et qu'elles sont continues.

12.

^(Egc12)

Montrer qu'il existe une fonction f continue de [0, 2] dans [0, 1] vériant

∀x ∈ [0, 2] , f(x)

⁵

+ f (x) = x

13.

^(Egc13)

a. Montrer que b √

xc = b p bxcc

b. Généralisation. Soit I = [0, +∞[ , f continue et strictement croissante de I dans I . On considère deux propriétés :

(1) ∀x ∈ I : bf (x)c = bf (bxc)c (2) ∀x ∈ R : f (x) ∈ N ⇒ x ∈ N

Montrer que ces deux propriétés sont équivalentes.

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés globales des fonctions continues

14.

^(Egc14)

Soit I un intervalle de R et f une application injec- tive et continue dénie dans I . On se propose de montrer que f est strictement monotone.

Pour u , v , w dans I tels que u < v < w , on nomme I

1

(u, v, w) , I

2

(u, v, w) , I

3

(u, v, w) les trois implications suivantes.

I

1

(u, v, w) : (f (v) < f (w) ⇒ f (u) < f (v))

I

2

(u, v, w) : (f (u) < f (w) ⇒ f(u) < f(v) < f (w)) I

3

(u, v, w) : (f (u) < f (v) ⇒ f (v) < f(w))

a. On veut prouver ces trois implications.

On considère u < v < w xés dans I . On va ex- ploiter l'injectivité de f et le théorème des valeurs intermédiaires pour tirer des conséquences de cer- taines inégalités entre des images.

Dans le tableau suivant, ces inégalités gurent dans la colonne de gauche et leurs conséquences dans celle de droite.

inégalité intervalle conséquence f (v) < f (w) f (u) 6∈ [f (v), f (w)]

f (v) < f (w) f (u) ≥ f(w) faux f (u) < f (w) f (v) ≤ f (u) faux f (u) < f (w) f (v) ≥ f (w) faux f (u) < f (v) f (w) 6∈ [f (u), f (v)]

f (u) < f (v) f (w) ≤ f (u) faux Compléter ce tableau en indiquant dans la colonne du milieu un intervalle dans lequel l'application du théorème des valeurs intermédiaires (associé à l'in- jectivité de f ) prouve la conséquence à droite.

b. On suppose qu'il existe a < b dans I tel que f (a) <

f(b) .

On veut montrer que f est strictement croissante en considérant dans le tableau suivant les diérents cas possibles pour x < y quelconques dans I .

cas arguments

x < y < a < b puis x < a < y < b puis x < a < b < y puis a < x < y < b puis a < x < b < y puis a < b < x < y puis

Compléter ce tableau en justiant que f (x) < f(y) . Cet argumentation sera constituée par deux impli- cations successives de la forme ( I ) indiquée au dé- but pour un bon choix des lettres et de l'indice.

(plusieurs réponses sont possibles) c. Montrer le résultat annoncé.

15.

(Egc15)

Soit ϕ une application strictement décroissante de R dans R. Montrer qu'il n'existe pas d'application f de R dans R continue et vériant

f ◦ f = ϕ

Existe-t-il une application f de R dans R continue et vériant

∀x ∈ R : f ◦ f (x) + x = 0

16.

^(Egc16)

Soit f et g deux fonctions continues d'un segment I = [a, b] dans lui même et telles que f ◦ g = g ◦ f . Pour tout n ∈ N

^∗

, on note

f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

nfois

= f

ⁿ

, g ◦ g ◦ · · · ◦ g

| {z }

nfois

= g

ⁿ

a. Soit m = min

I

(f − g) . Montrer que

∀n ∈ N , ∀x ∈ I, f

ⁿ

(x) ≥ g

ⁿ

(x) + nm

b. Montrer ∃x

0

∈ [a, b] tel que f (x

₀

) = g(x

₀

) .

17.

^(Egc17)

Montrer qu'une fonction f continue de [a, b] dans [a, b] admet un point xe.

18.

^(Egc18)

Soit E l'ensemble des applications continues de R dans R et vériant

∀(x, y) ∈ R

²

: f ( x + y 2 ) = 1

2 (f (x) + f (y)) a. Montrer que E est stable pour l'addition fonction-

nelle et la multiplication par un réel (sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions continues).

b. Soit f dans E s'annulant en deux points distincts.

Montrer que f est la fonction nulle. On pourra uti- liser une suite dichotomique.

c. Montrer que E est l'ensemble des fonctions anes.

d. Déterminer toutes les fonctions continues de R

^∗+

dans R

^∗+

telles que :

∀(x, y) ∈ R

^∗+

2

: f ( x + y

2 ) = 2f (x)f (y) f (x) + f (y) e. Déterminer toutes les fonctions continues de R dans

R

^∗+

telles que :

∀(x, y) ∈ R

²

: f ( x + y 2 ) = p

f (x)f (y)

19.

^(Egc19)

Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un intervalle ouvert I . On suppose que f admet aux extrémités de I la même limite (nie ou ±∞ ). Montrer que f n'est pas injective.

20.

^(Egc20)

Déterminer toutes les fonctions continues f de R dans R vériant

∀x ∈ R , f ( x + y

2 ) = f (x) + f (y)

2 .

21.

^(Egc21)

Soit f une bijection de R dans R vériant

∀(x, y) ∈ R

²

,

( f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y)

a. Montrer que f (x) = x pour tout x ∈ Q.

b. En écrivant x = ( √

x)

²

pour x > 0 , montrer que f est croissante sur R.

c. En déduire que f est continue sur R puis que c'est l'identité.

22.

^(Egc22)

Soit f continue de [0, 1] dans [0, 1] telle que f ◦f =

f . Montrer que l'ensemble des points xes de f est un

segment.

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés globales des fonctions continues

23.

^(Egc23)

Montrer que toute fonction strictement décrois- sante et continue dans R admet un unique point xe.

24.

^(Egc24)

Soit a

0

, a

1

, · · · , a

n

des nombres réels. On suppose a

0

< 0 et on considère la fonction polynomiale

x → a

0

+ a

1

x + · · · + a

n

x

ⁿ

+ x

ⁿ⁺¹

Montrer que cette fonction s'annule dans ]0, +∞[ . 25.

^(Egc25)

Soit f une fonction continue de R dans R telle

que, pour tout intervalle ouvert I , f (I) soit un intervalle ouvert. Montrer que f est strictement monotone.

26.

^(Egc26)

Soit f une fonction continue de R

+

dans R

+

telle que

f (x) x

−−→

+∞

l < 1

Montrer que f admet un point xe.

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés globales des fonctions continues : corrigés

1.

^(Cgc01)

pas encore de correction 2. pas de correction pour Egc02.tex 3. pas de correction pour Egc03.tex 4. pas de correction pour Egc04.tex 5. pas de correction pour Egc05.tex 6. pas de correction pour Egc06.tex 7. pas de correction pour Egc07.tex 8.

^(Cgc08)

Par hypothèse b − a ∈ T .

a. On suppose (faire un dessin)

a < x

_min

< b avec f (x

_min

) < f (a) = f (b) Soit T ∈]0, α] . Alors x

_min

− T et x

_min

+ T sont dans [a, b] par dénition de α . Dénissons g :

g : → R

x 7→ f (x + T ) − f (x)

!

Comme x

_min

réalise la plus petite valeur de f : g(x

_min

− T ) ≤ 0 et g(x

_min

) ≥ 0

On peut alors appliquer le TVI pour justier que T ∈ T .

b. Si f (a) = f (b) n'est pas la plus grande valeur de f , on peut raisonner avec la valeur maximale comme en a. Si f (a) = f (b) est à la fois la plus grande et la plus petite valeur de f c'est qu'elle est constante.

c. à compléter d. à compléter e. à compléter

9. pas de correction pour Egc09.tex

10.

^(Cgc10)

Comme f est continue de [0, 1] dans [0, 1] , elle admet un point xe (exercice 17 (Egc17)) donc E

f

est non vide. Pour montrer que E

f

est un intervalle, nous allons montrer que c'est une partie convexe. C'est à dire que

∀(a, b) ∈ E

_f²

, a < b ⇒ [a, b] ⊂ E

_f

Considérons donc un c tel que a < c < b . Comme a = f (a) et b = f (b) , le nombre c est entre f (a) et f (b) . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe x ∈ [a, b] tel que c = f (x) . On compose par f :

f (c) = f ◦ f (x) = f (x) = c ⇒ c ∈ E

f

On pouvait aussi démontrer que E

f

= f ([0, 1]) par une double inclusion facile.

11. pas de correction pour Egc11.tex 12. pas de correction pour Egc12.tex 13.

^(Cgc13)

a. De la croissance des fonctions partie entière et ra- cine carrée, on déduit

b p

bxcc ≤ b √ xc Notons

m

_x

= b p

bxcc ∈ N

On a donc m

x

≤ b √

xc d'où m

x

≤ √

x . On veut montrer que m

x

= b √

xc c'est à dire, par dénition de la partie entière, que √

x < m

x

+ 1 . On raisonne par l'absurde :

√ x ≥ m

x

+ 1 ⇒ x ≥ (m

x

+ 1)

²

∈ N

⇒ bxc ≥ (m

_x

+ 1)

²

⇒ p

bxc ≥ m

_x

+ 1 ∈ N

⇒ m

_x

= b p

bxcc ≥ m

_x

+ 1

Absurde

b. Montrons d'abord que (1) entraine (2) . On commence par reformuler (1) . Pour tout x de I notons

m

_x

= bf(bxc)c

Comme la fonction f est croissante, on a toujours f (bxc) ≤ f (x)

La condition (1) se traduit donc par :

∀x ∈ I : m

_x

≤ f(bxc) ≤ f (x) < m

_x

+ 1

Cette condition entraine l'implication (2) . En ef- fet, lorsque f (x) ∈ Z, f (x) = m

x

et l'encadrement précédent devient :

f (x) ≤ f (bxc) ≤ f (x) < f (x) + 1

Cela entraine f (x) = f (bxc) qui ne se produit (croissance stricte) que si x = bxc c'est à dire si x est entier.

Remarquons que la continuité de f n'est pas inter- venue dans ce raisonnement.

Montrons que (2) entraine (1) . Exprimons une conséquence de (2) et de la continuité de f .

L'image par f d'un intervalle ne contenant qu'un seul entier est un intervalle conte- nant au plus un entier.

En particulier, lorsque a ∈ Z

f (a) ∈ Z ⇒ f (a + 1) ≤ f (a) + 1 f (a) 6∈ Z ⇒ f (a + 1) ≤ bf (a)c + 1

Cela entraine dans les deux cas :

bf (a)c ≤ f (a + 1) ≤ bf (a)c + 1

Lorsque a = bxc , cette inégalité s'écrit (avec la no- tation m

x

) :

m

_x

≤ f (bxc + 1) ≤ m

_x

+ 1

Or x < bxc + 1 , donc f (x) < f (bxc + 1) et on a bien l'encadrement caractéristique de (1) :

∀x ∈ I : m

x

≤ f(bxc) ≤ f (x) < m

x

+ 1

14. pas de correction pour Egc14.tex

(5)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Propriétés globales des fonctions continues : corrigés

15.

^(Cgc15)

L'application ϕ est strictement décroissante donc injective. La relation f ◦ f = ϕ implique que f est in- jective. Comme elle est continue, elle est strictement monotone d'après le théorème de cours démontré dans l'exercice Egc14. Mais alors f ◦f devrait être strictement croissante en contradiction avec l'hypothèse. Il n'existe donc par de f continue vériant f ◦ f (x) = −w . 16.

^(Cgc16)

a. On raisonne par récurrence. Pour n = 1 ,

∀x ∈ I, m ≤ f (x) − g(x) ⇒ f (x) ≥ g(x) + 1 × m Montrons que l'inégalité pour n entraine celle pour n + 1 . Pour tout x ∈ I ,

f

ⁿ⁺¹

(x) = f

ⁿ

(f (x))

≥ g

ⁿ

(f (x)) − n m (hyp. recu en f (x)

= f (g

ⁿ

(x)) − n m (permut. f et g )

≥ g(g

ⁿ

(x)) − m − n m (def. de m )

= g

ⁿ⁺¹

(x) − (n + 1)m b. Comme g([a, b]) ⊂ [a, b] , l'inégalité précédente en-

traine f

ⁿ

(x) ≥ a+nm . Comme f aussi est à valeurs dans [a, b] , la suite (f

ⁿ

(x))

_n∈N∗

est majorée par b ce qui entraine m ≤ 0 (sinon il y aurait divergence vers +∞ ).

Notons M = max

I

(f − g) . Alors M = − min

I

(g − f )

On échange les rôles de f et g pour conclure que M ≥ 0 . On peut alors appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

17.

(Cgc17)

On dénit g dans [a, b] par g(x) = f (x) − x

alors g(a) ≥ 0 et g(b) ≤ 0 . on peut appliquer à g (conti- nue) le théorème des valeurs intermédiaires. Un c tel que g(c) = 0 est un point xe pour f .

18. pas de correction pour Egc18.tex

19.

^(Cgc19)

Une premiere manière de résoudre cet exercice est d'évoquer le théorème de cours : une fonction continue et injective sur un intervalle et strictement monotone.

Puis de justier soigneusement que la stricte monotonie interdit l'égalité des limites.

L'outil semble disproportonné, proposons une preuve di- recte dans le cas où la limite commune est l ∈ R et la fonction non constante.

Il existe alors u ∈ I tel que f (u) 6= l , par exemple f (u) > l . Comme les lites aux extrémités sont l , il existe un a assez proche de l'extrémité gauche et un b assez proche de l'extrémité droite tels que

f (a) < f (u) + l

2 f (b) < f (u) + l 2

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires dans [a, u] et dans [u, b] , on prouve l'existence de deux antécédents distincts de

^f(u)+l₂

ce qui prouve que f n'est pas injective.

Adapter cette démonstration dans les autres cas.

20.

^Cgc20

Notons ϕ

k

et ψ

k

les fonctions proposées ϕ

k

(x) = f (x) − kx, ψ

k

(x) = f (x) + kx a. Pour tous x < y dans I :

ϕ

k

(y) − ϕ

k

(x) = f (y) − f (x) − k(y − x)

≤ |f (y) − f (x)| − k(y − x) ≤ k (|y − x| − (y − x))

= k ((y − x) − (y − x)) = 0 On en déduit ϕ

_k

décroissante.

On démontre de même que ψ

_k

est croissante.

b. Le caractère lipschitzien sur ]a, b[ entraîne que la fonction f est bornée. Il en est de même pour ϕ

_k

et ψ

_k

qui admettent donc des limites nies en a et b par monotonie bornée. Comme f peut s'exprimer comme une combinaison de ces fonctions elle admet aussi des limites nies. Le caractère lipschitzien est conservé en a et b à cause du théorème de passage à la limite dans une inégalité.

c. à compléter.

21.

^(Cgc21)

a. De la relation additive on tire f (0) = 0 et f (−x) =

−f (x) pour tous les x . De la relation multiplicative, on tire f (1) = 1 car la fonction étantbijective, il existe un x tel que f (x) 6= 0 . De plus

∀p ∈ N , ∀x ∈ R , f (px) = pf (x)

En prenant x = 1 , on en déduit f (p) = p . Pour p 6= 0 , en prenant x =

¹_p

, on tire f (

¹_p

) =

_f(p)¹

. Avec la propriété multiplicative, on déduit f (x) = x pour tout x rationnel.

b. Soit x < y . Alors

f (y) = f (x) + f (y − x) = f (x) + f ( √ y − x

²

)

= f (x) + f ( √

y − x)

²

> 0 L'inégalité est stricte car la fonction est bijective avec f (0) = 0 .

c. La fonction est croissante et surjective donc f ( R ) = R est un intervalle. Une fonction monotone sur in- tervalle et dont l'image est un intervalle est conti- nue donc la fonction f est continue. En appro- chant par densité un x irrationnel par une suite de nombres rationnels, on montre en utilisant la continuité en x que f (x) = x .

22.

^(Cgc22)

à compléter

23.

^(Cgc23)

L'unicité d'un éventuel point xe est immédiate car x → f(x) − x est strictement décroissante.

Pour l'existence, on commence par remarquer que f −−→ −∞

^−∞

et f −−→

^+∞

+∞ sont faux.

Si on avait f(x) − x ≤ 0 pour tous les x on aurait f (x) ≤ x et donc f −−→ −∞

^−∞

. Il existe donc un x

1

tel que f (x

1

) − x

1

> 0 .

De même, si on avait f (x) − x ≥ 0 pour tous les x on aurait f(x) ≥ x et donc f −−→

^+∞

+∞ . Il existe donc un x

₂

tel que f (x

₂

) − x

₂

< 0 .

On conclut par le théorème de la valeur intermédiaire.

(6)