Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010
CM 3 Groupe Concours
Feuille 5
Int´egrales, Int´egrales g´en´eralis´ees
Exercice1 — D´eterminer les limites suivantes lorsque ntend vers +∞
1)
2n
X
k=0
k
k2+n2 ; 2)
2n
X
k=n
1 k ; 3)
2n
X
k=n
sin π
k
.
Exercice2 — Soitf : [0,1]→Rune fonction continue. On suppose que pour toute fonctiongen escaliers on aR1
0 f(x)g(x)dx= 0. Montrer que cela implique quef est la fonction nulle.
Exercice 3 — Soitf : [0,1]→ R une fonction continue. On suppose que R1
0 f(x)dx= 12. Montrer qu’il existex0 ∈[0,1] tel quef(x0) =x0.
Exercice4 — Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue par morceaux telle que lim
x→+∞f(x) =l. Montrer que 1xRx
0 f(t)dt →
x→+∞l.
Exercice5 — Calculer les limites suivantes 1) lim
n→+∞
Rπ 0
nsinx
x+n dx 2) lim
a→0
Rπ2
0 e−asinxdx 3) lim
n→+∞
R1 0
e−nx x+1dx 4) lim
u→0
R2u u
sinx
x2 dx 5) lim
u→0
Ru 0
u
u2+x2f(x)dx avec f continue en 0 .
Exercice6 — D´eterminer la nature (convergente, divergente, semi convergente) des int´egrales impropres suivantes :
1.
Z ∞
0
(x+ 2)−p
x2+ 4x+ 1 dx 2.
Z ∞
1
e−x1/3+sinxdx
3.
Z ∞
0
xae−xdx,a∈R
4.
Z ∞
1
e−
√ lnxdx
5.
Z ∞
1
e−
√ lnx
x dx 6.
Z ∞
1
1 xcos(1/x)dx 7.
Z 1
0
dx Argshx et
Z ∞
1
dx Argshx 8.
Z ∞
2
xlnx (lnx)xdx
9.
Z ∞
1
Argshx+ 1 x dx 10.
Z ∞
0
sin(sinx)dx 11.
Z ∞
0
cos(ex)dx 12.
Z 1
0
1 x2 sin 1
x2dx 13.
Z ∞
0
√x+ cosx−√ x
dx 14.
Z ∞
1
sinx
√x+ sinxdx 15.
Z ∞
0
e−(lnx)2dx 16.
Z ∞
0
lnx x2−1dx
1
Exercice7 — Calculer les int´egrales suivantes apr`es avoir montr´e leur convergence : 1.
Z ∞
0
dx
(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) 2.
Z ∞
0
e−
√xdx
3.
Z ∞
0
dx 1 + ch2x
4.
Z ∞
1
lnx
xn dxpour n >1
5. I = Z π/2
0
ln cosx et J = Z π/2
0
ln sinx (indica- tion : on cherchera des relations liantI,J etI+J).
Exercice 8 — Soitf :R+→ R+ une fonction de classeC1. On suppose qu’il existeα >0 tel que pour toutx≥0, f0(x)≥α. Montrer que
Z ∞
1
f(x)
x2 dxdiverge.
Exercice9 — Soitf :R+→R+une fonction d´ecroissante, positive, et telle que Z ∞
0
f converge. Montrer quexf(x)→0.
(Indication : on compareraxf(x) `a un reste de l’int´egrale.)
Exercice 10 — Soit f : [0; 1] → R d´erivable, et telle que f(0) = f0(0) = 0. Montrer que Z 1
0
f(x) x3/2dx converge.
Exercice 11 — Soientf, g:R+ →Rdes fonctions telles que f ≥0,g=o(f) au voisinage de l’infini, et Z ∞
0
f diverge. Montrer que
Z x 0
g=o Z x
0
f
.
Exercice12 — Calculer lim
a→0+
Z 3a a
tanx
x2 dx. On pourra pour cela comparer cette limite `a celle de Z 3a
a
dx x . Exercice 13 — Donner un ´equivalent des sommes suivantes quand n tend vers l’infini (on pourra pour chacune d’entre elles, la comparer `a une int´egrale bien choisie).
1.
n
X
k=0
√
k 2.
∞
X
k=n
1 k2
3.
n
X
k=2
1
lnk. Pour ce dernier exemple, on cherchera un ´equivalent de l’int´egrale Z x
2
1
lntdten faisant une int´egration par parties et en utilisant l’exercice 11.
2
