Exercice 1.Soitf :Rn−→Rdune fonction continue

Université de Cergy-Pontoise 2015/2016 L2 - MIPI

Examen de "Fonctions de plusieurs variables"

(Vendredi 13 Mai 2016 – durée 3 heures)

– Les documents, calculatrices, téléphones mobiles sont strictement interdits –

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Exercice 1.Soitf :Rⁿ−→R^dune fonction continue.

1. Rappeler la définition d’un ensemble compact dansRⁿà l’aide des suites.

2. Rappeler la caractérisation de la continuité à l’aide des suites.

3. SoitK ⊂Rⁿ, on définit l’ensemblef(K)⊂R^dpar

f(K) ={y∈R^d|∃x∈K tel quey=f(x)}.

Montrer que si K est un ensemble compact dans Rⁿ alors f(K)est un ensemble compact dansR^d.

Exercice 2.Soitm ∈N^∗etf :R² −→Rla fonction définie comme suit :

f(x, y) =







x^my

x²+y² si(x, y)6= (0,0) 0 si(x, y) = (0,0) 1) Etude de la fonction surR²\ {(0,0)}:

a) Montrer quef est de classeC¹ surR²\ {(0,0)}pour toutm.

b) A t-onf différentiable surR²\ {(0,0)}pour toutm? 2) Etude de la fonction en(0,0):

a) Pour quelles valeurs demla fonctionf est-elle continue en(0,0)?

b) Pour quelles valeurs demla fonctionfadmet-elle des dérivées parteielles en(0,0)? Donner dans ce cas leurs valeurs.

c) Pour quelles valeurs demla fonctionf est-elle différentiable en(0,0)? d) Pour quelles valeurs demla fonctionf est-elle de classeC¹ surR²? Exercice 3.Soitf :R² −→Rla fonction définie par

f(x, y) = x²+1

2x⁴+ (1 +x)y² a) Déterminer les points critiques def.

b) Calculer les dérivées partielles secondes def.

c) Donner la formule de Taylor à l’ordre2def en chacun des points critiques.

d) Parmi les points critiques trouvés en a), lesquels sont des extrema locaux def? e) Est-ce quef possède un maximum global ou un minimum global surR²?

Exercice 4.Soientf :R² −→Rdéfinie parf(x, y) = sin(x²−y²)et g :R² −→R²définie parg(x, y) = (x+y, x−y).

1. a) Donner l’expression de la fonctionh=f◦g en un point(x, y)deR². b) Justifier pourquoi cette fonction est différentiable surR²?

c) Qu’appelle t-on alors "différentielle dehen un pointa= (a₁, a₂)∈R²" notée(Dh)_a? 2. Calculer la différentielle deh=f◦g en un pointa= (a₁, a₂),

1 Tournez la page S.V.P.−→

3. Calculer les matrices Jacobiennes def et degen(x, y).

4. En déduire la matrice jacobienne def ◦gen appliquant le théorème de la composée de deux fonctions différentiables. Retrouver le résultat du 2).

Exercice 5.

1) Calculer lorsque cela est possible g⁰(t) dans chacun des cas suivants en utilisant les dérivées partielles def et les dérivées des fonctionsx(t), y(t)etz(t):

a)g(t) =f

x(t), y(t)

oùf(x, y) = cos(x+ 4y), x(t) = 5t⁴, y(t) = ¹_t. b)g(t) =f

x(t), y(t), z(t)

oùf(x, y) = xe^yz, x(t) = t², y(t) = 1−t, z(t) = 1 + 2t.

2) Sachant que la fonctionf :R² −→Rest différentiable et que f(2,5) = 6, ∂f

∂x(2,5) = 1, ∂f

∂y(2,5) =−1,

donner une valeur approchée def(2.2; 4.9)en justifiant votre méthode.

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