Correction des exercices sur la composée de deux fonctions
I
Pour chacun des cas suivants, donner les expressions de f ◦g etg◦f. 1. f(x)=x2+3 etg(x)= 1
x.
• f ◦g :x−→g 1
x=y−→f y2+3= µ1
x
¶2
+3
• g◦f :x−→f x2+3=y−→f z2+3=1
z = 1 x2+3 2. f(x)=sinxetg(x)=3x2+1
• f ◦g :x−→g 3x2+1=y−→f sin(y)= sin¡
3x2+1¢
• g◦f :x−→f sin(x)=z−→g 3z2+1= 3 sin2x+1 3. f(x)=3x2etg(x)=p
x
• f ◦g :x−→g p
x=y−→f 3x2+1= 3x+1
• g◦f :x−→f 3x2=z−→g p z= p
3x2
II
Dans chacun des cas suivants, écrire la fonctionhsous la forme de la composée de deux fonctions à pré- ciser :
1. h(x)= 1 x4+3
h:x−→g x4+3−→f 1
x4+3 donch=f ◦g avec
f(x)=1 x g(x)=x2+4 2. h(x)=cos¡
x2+1¢ h:x−→g x2+1−→f cos¡
x2+1¢
donch=f ◦g avec
(f(x)=cosx g(x)=x2+1 3. h(x)=
s x2 x2+1 h:x−→g x2
x2+1
−→f
s x2
x2+1donch=f ◦g avec
f(x)=p x g(x)= x2
x2+1 4. h(x)=¡
x2+x+1¢5
h:x−→g x2+x+1−→f ¡
x2+x+1¢5
donch=f ◦g avec
(f(x)=x5
g(x)=x2+x+1 Exercice:
1. Déterminer lim
x→−∞
px2+1 et lim
x→+∞
px2−1
• lim
x→−∞
¡x2+1¢
= ∞. On poseX =x2+1.
Alors : lim
x→−∞
px2+1= lim
X→+∞
pX = +∞donc lim
x→−∞
px2+1= +∞
• lim
x→+∞
¡x2−1¢
= ∞. On poseX =x2−1.
Alors : lim
x→+∞
px2−1= lim
X→+∞
pX = +∞donc lim
x→+∞
px2−1= +∞
2. Calculer lim
x→+∞
r2x+1 x−1 . Pourx6=0, 2x+1
x−1 =x¡ 2+1x¢
1 x
=2+1x
1−1x. On en déduit : lim
x→+∞
µ2x+1 x−1
¶
=2.
Alors : lim
x→+∞
r2x+1 x−1 =lim
X→2
pX = p 2
