Correction des exercices sur l’intégration

Correction des exercices sur l’intégration

I

On souhaite calculer l’intégrale suivante :I= Z^π

0

tcos(t) dt. On pose f :t7→tcos(t), définie surR.

1. f^′(t)=1×cos(t)+t×(−sin(t))=cos(t)−tsin(t) donc f^′′(t)= −sin(t)−[1×sin(t)+tcos(t)]= −2 sin(t)−f(t).

Donc f^′′(t)= −2 sin(t)−f(t). On en déduit que : f(t)= −2 sin(t)−f^′′(t).

2. On en déduit une primitiveF de f :F(t)=2 cos(t)−f^′(t)=2 cos(t)−[cos(t)−tsin(t)]=cos(t)+tsin(t).

AlorsI=F(π)−F(0)=(−1+πsin(π))−(1+0)= −2

II

On souhaite calculer l’intégrale suivante :I= Z1

−5

xe^x dxOn posef :x7→xe^x, définie surR. 1. f^′(x)=e^x+xe^x=e^x+f(x)

2. On en déduit f(x)=f^′(x)−e^x; une primitive de f est alorsF avecF(x)=f(x)−e^x=xe^x−e^x=(x−1)e^x. I=F(1)−F(−5)=(e−e)−¡

−5e⁻⁵−e⁻⁵¢

= 6e⁻⁵

III

On considère les deux intégrales :I= Z^π

0

cos²(x) dxetJ= Z^π

0

sin²(x) dx 1. Par linéarité,I+J=

Z^π

0

¡cos²x+sin²x¢ dx=

Z1 0

dx=π−0=π. (Car cos²x+sin²x=1) De même :I−J=

Z^π

0

¡cos²x−sin²x¢ dx=

Z^π

0

cos(2x) dx. (Car cos²x−sin²x=cos(2x)) Une primitive dex7→cos(2x) estx7→ 1

2sin(2x) doncI−J=1

2sin(2π)−1

2sin(0)=0.

2. On a :

(I+J=π I−J=0 .

En additionnant, on trouve 2I=πdoncI= π 2. CommeI−J=0, on aJ=I=

π

2. D’où I=J= π 2

IV

Soit l’intégraleI= Z1

0

1 1+u² du.

1. Il n’ y a aucune formule qui permette de trouver une primitive de cette fonction dans le tableau des primitives en Terminale.

2. Démontrons que, pour tout réeluÊ0, 1−u²É 1 1+u²É1.

• ∀uÊ0, 1+u²Ê1 donc 1 1+u²É1.

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• ∀uÊ0, 1 1+u²−¡

1−u²¢

=1−¡

1+u²¢ ¡ 1−u²¢

1+u² =1−¡ 1−u⁴¢

1+ +u² = u⁴

1+u²Ê0 donc 1−u²É 1 1+u². 3. Parconservation de l’ordre, on a :

Z1 0

¡1−u²¢

duÉIÉ Z1

0

1 du. Z1

0

¡1−u²¢ du=

· u−u³

3

¸¹

0=1−1 3=2

3. Z1

0

1 du=1.

Par conséquent : 2

3ÉIÉ1

4. 4I≈3,141 592 654 qui ressemble au nombreπ. ON peut donc conjecturer que I= π 4 Remarque: en fait, une primitive dex7→ 1

1+x²est la fonction arctan (fonction réciproque de la fonction tan doncI=arctan(1)−arctan(0)=

π 4−0=

π

4 car tan

³π 4 =1´

V

SoitF :x7→

Zx 0

e^−t2 dtune fonction.

1. On posef(t)=e^−t2;f est continue surRdoncF est définie srR.

2. (a) F est dérivable surR⁺car f est continue, doncF est une primitive de f. (la primitive qui s’annule en 0)

(b) F^′=f etf Ê0 doncF^′(x)=f(x) ; orf(x)Ê0 doncF est croissante surR⁺(et même surR).

3. SoitH:x7→

Z2x x

e^−t2dt. (a)

D’après la relation de Chasles,H(x)= Z0

x

e^−t2dt+ Z2x

0

e^−t2 dx= − Zx

0

e^−t2 dt+ Z2x1

0

e^−t2 dx

= −F(x)+F(2x)= F(2x)−F(x).

4. Hest dérivable comme somme et composée de fonction dérivables.

H^′(x)=2F^′(2x)−F^′(x)=2f(2x)−f(x)=2e^−4x2−e^−x2=2e^−4x2− −e^−4x2+3x2= e^−4x2³

2−e^3x2´ 5. e^−4x2 >0 doncH^′(x) est du signe de 2−e^3x2.

2−e^3x2=0⇔e^3x2=2.

On applique la fonction logarithme népérien (voir prochain chapitre) : ln³ e^3x2´

=ln(2) donc 3x²=ln(2) car ln¡

e^x¢

=x. CommexÊ0, on trouvex= s

ln(2) 3 . 2−e^3x2>0⇔e^3x2<2⇔3x²<ln(2)⇔x<

s ln(2)

3 . On en déduit le tableau de variation :

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x 0

s ln(2)

3 +∞

H^′(x) + 0 −

H(x) 0

✒ H



 s

ln(2) 3





❅❅

❅

❘

VI Méthode des rectangles

On souhaite déterminer une valeur approchée de Z3

0

p 1

x²+1dx.

1. Soit f :x7→ 1

px²+1définie surI=[0 ; 3]. On a successivement :

• x7→x²+1 est croissante surI;

• x7→p

x²+1 est croissante surIcar la fonction racine carrée est croissante sur [0 ;+∞[ ;

• x7→ 1

px²+1est décroissante surI car la fonction inverse est décroissante sur [0 ;+∞[.

2. (a) Ici, avecn=5, on obtient :

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5 0.5 1.0

(b) L’amplitude de chaque intervalle est 3 n. (c) Pour toutk=0, . . . ,n, on ax_k=3k

n .

(d) Le rectangle construit sur l’intervalleI_ka pour largeur 3

n et pour longueur f (x_k+1)= 1

s 1+

µ3(k+1) n

¶2 = 1 s

n²+9(k+1)² n²

= 1

pn²+9(k+1)² n

= n

pn²+9(k+1)², son aire est

doncA_k= ³

n× n

pn²+9(k+1)²= 3

pn²+9(k+1)² . (e) La ligne 8 se complète en «Pour k variant de 0 à n−1».

La ligne 9 se complète en « Donner à Sinf la valeur Sinf + 3

pn²+9(k+1)²».

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3. On commence par le schéma :

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5 0.5 1.0 _f

a=1.89

L’amplitude des intervalles est la même : les rectangles ont donc la même largeur. Seule leur longueur change puisqu’elle est maintenant de f (x_k)= n

pn²+9k² et leur aire est ainsiA_k=p ³ n²+9k². Dans l’algorithme, seule la ligne 9 est à modifiée en « Donner à Ssup la valeur Ssup + 3

pn²+9k²».

4.

Liste des variables utilisées : k, n : entiers

Ssup, Sinf : réels Entrée

Saisir n Traitement Faire

Donner à Sinf la valeur 0 Donner à Ssup la valeur 0 Pour k variant de 0 à n-1, faire

Donner à Sinf la valeur Sinf + 3

pn²+9(k+1)² Donner à Ssup la valeur Ssup + 3

pn²+9k² FinPour

Donner à n la valeur n+1 TantQue(Ssup-Sinf>1/100) Afficher Sinf

Afficher Ssup Affiche n

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