AIDE Terminale S : Calculs de primitives

AIDE Terminale S : Calculs de primitives

Exercice n°1

Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] telle que f (0) = – 1

2 et f ’ = – f ² sur [ 0 ; 1 ].

a. Démontrer que f ne s’annule pas sur [ 0 ; 1 ].

b. Démontrer que ( 1

f )’ est constante sur [ 0 ; 1 ].

c. En déduire la fonction f.

Exercice n°2

Déterminer une primitive de f sur l’intervalle I.

a. f (x) = x³ – 4x² + 3x – 5 I = Y b. f (x) = 3x + 1 2 – 1

x² I = ] 0 ; + ∞ [ c. f (x) = cos x

(sin x + 2)² I = Y d. f (x) = x

(x² + 1)⁴ I = ] 0 ; + ∞ [ e. f (x) = 4x – 2

x² – x + 1 I = Y

Exercice n°3

Déterminer la primitive F de la fonctions f sur l’intervalle I, vérifiant la condition indiquée.

a. f (x) = 3x ( x² + 1)⁴ avec F ( 2) = 1 I = Y b. f (x) = x e^x2 avec F ( – 1 ) = 0 I = Y c. f (x) = e^x

( 3e^x + 1 )² avec F ( 0 ) = 0 I = Y Exercice n°4

Soit f la fonction définie sur Y \ {1} par : f (x) = 2x + 3 (x – 1)³

1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x ≠ 1 : f (x) = a

(x – 1)² + b (x – 1)³ . 2. En déduire une primitive de f sur ] – ∞ ; 1 [.

Exercice n°5

En utilisant la relation fondamentale cos²x + sin²x = 1 vraie pour tout réel x, déterminer une primitive sur Y de la fonction f : x ï _cos³_{x .}

Exercice n°6

Soit la fonction définie sur Y par : f (x) = ( x² – 4 ) e^2x.

a. Déterminer des réels α, β, γ pour que la fonction F, définie sur Y par : F (x) = ( α x² + β x + γ ) e^2x, soit une primitive de f sur Y.

b. Déterminer la primitive de f sur Y qui s’annule en 0.

CORRECTION AIDE Terminale S : Calculs de primitives

Exercice n°1

Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] telle que f (0) = – 1

2 et f ’ = – f ² sur [ 0 ; 1 ].

a. f’ = – f ² donc f’(x) < 0 sur [ 0 ; 1 ].

On en déduit donc que f est décroissante sur [ 0 ; 1 ].

f décroissante et f(0) < 0 donc f ne s’annule pas en 0.

b. ( 1 f ) ’ = – f ’

f ² = f ² f ² = 1.

On en déduit donc que (1

f )’ est constante sur [ 0 ; 1 ].

c. Si ( 1

f )’ est constante alors 1

f est de la forme : 1

f(x) = x + k

On en déduit donc que f(x) = 1 x + k.



^{f( x ) =} _{x + k}¹

f(0) = – 1 2

1

k = – 1 2 k = – 2 f(x) = 1

x – 2. Exercice n°2

a. f (x) = x³ – 4x² + 3x – 5 I = YYYY F(x) = 1

4 x⁴ – 4 3 x³ + 3

2 x² – 5x + k k ∈ Y b. f (x) = 3x + 1

2 – 1

x² I = ] 0 ; + ∞∞∞∞ [ F(x) = 3

2 x² + 1 2 x + 1

x + k c. f (x) = cos x

(sin x + 2)² I = YYYY f est de la forme u ’

uⁿ avec u(x) = sin x + 2 et n = 2 F = – 1

u + k F(x) = – 1

sin x + 2 + k d. f (x) = x

(x² + 1)⁴ I = ] 0 ; + ∞∞∞∞ [ f est de la forme 1

2 u ’

uⁿ avec u(x) = x² + 1 et n = 4 F = 1

2× (– 1 3u³ ) + k F(x) = – 1

6(x² + 1)³ + k e. f (x) = 4x – 2

x² – x + 1 I = YYYY f est de la forme 2 × u’

u avec u(x) = x² – x + 1 F = 2 × 2 u + k

F(x) = 4 x² – x + 1 + k Exercice n°3

a. f (x) = 3x ( x² + 1)⁴ avec F ( 2) = 1 I = YYYY f est de la forme 3

2 × u’ × u⁴ avec u(x) = x² + 1 F(x) = 3

2 × 1

5 (x² + 1)⁵ + k F( 2) = 3

2×1

5 ( 2² + 1)⁵ + k = 1 D’où 3

2×1

5 (2 + 1)⁵ + k = 1 k = 1 – 3

10 × 3⁵ k = – 719

10 F(x) = 3 2 × 1

5 (x² + 1)⁵ – 719 10

b. f (x) = x e^x

2

avec F ( – 1 ) = 0 I = YYYY f est de la forme 1

2 × u’ × e^u avec u(x) = x² F(x) = 1

2 e^x

2

+ k F( – 1) = 1

2 e¹ + k = 0 D’où 1

2 e + k = 0 k = – 1

2 e F(x) = 1

2 e^x

2

– 1 2 e c. f (x) = e^x

( 3e^x + 1 )² avec F ( 0 ) = 0 I = YYYY f est de la forme 1

3×u’

uⁿ avec u(x) = 3e^x + 1 et n = 2 F(x) = 1

3× – 1 (3e^x + 1) + k F(0) = – 1

3 × ( 3 + 1) + k = 0 D’où – 1

12 + k = 0 k = 1

12 F(x) = – 1

3(3e^x + 1) + 1 12

Exercice n°4

Soit f la fonction définie sur YYYY \ {1} par : f (x) = 2x + 3 (x – 1)³ 1. a

(x – 1)² + b

(x – 1)³ = a(x – 1) + b (x – 1)³

= ax – a + b (x – 1)³

Par identification avec l’expression de f(x), on obtient : a = 2

– a + b = 3 d’où b = 5 f (x) = 2

(x – 1)² + 5 (x – 1)³ 2. F(x) = – 2

x – 1 – 5 2(x – 1)² + k Exercice n°5

f(x) = cos³x f(x) = cos x cos²x f(x) = cos x ( 1 – sin²x ) f(x) = cos x – cos x sin²x

Si on pose u(x) = sin x alors u’(x) = cos x f(x) = u’(x) – u’(x) × (u(x))²

On en déduit donc qu’une primitive de cette fonction est : F(x) = u(x) – 1

3 u(x)³ + k F(x) = sin x – 1

3 sin³x + k Exercice n°6

f (x) = ( x² – 4 ) e^2x

a. F (x) = ( α x² + β x + γ ) e^2x F est de la forme u × v F est une primitive de f sur Y si F’(x) = f(x)

F’(x) = (2α x + β)e^2x + 2( α x² + β x + γ ) e^2x F’ = u’v + uv’

F’(x) = [ 2α x² + (2α + 2β) x + (β + 2γ) ] e^2x F’(x) = f(x)

2α = 1 ⇔ α = 1

2 2α + 2β = 0 β = – 1

2 β + 2γ = – 4 γ =

– 4 + 1 2 2 = – 7

2×1 2 = – 7

4 F(x) = ( 1

2 x² – 1 2 x – 7

4) e^2x est une primitive de f sur Y.

Fk(x) = ( 1 2 x² – 1

2 x – 7

4) e^2x + k telle que Fk(0) = 0 Fk(0)= ( 1

2× 0 – 1 2× 0 – 7

4) e^2×0 + k Fk(0)= – 7

4 + k et Fk(0) = 0 On en déduit donc que k = 7

4 F⁷

4

(x) = ( 1 2 x² – 1

2 x – 7 4) e^2x + 7

4 est la primitive de f qui s’annule en 0.