PanaMaths Octobre 2007
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \
+*par :
( ) 5 3 x x3
f x x
= − +
Analyse
On ne doit pas se laisser dérouter par l’apparente complexité de l’expression ...
Résolution
On a : x3= x2× x= ×x x=x x. Il vient alors :
( )
5 3 5 5 23 3 3
x x
x x x x x
f x
x x x
− + − + × −
= = = +
3 x
5 1 1 2
3 3x
= − x+
On a donc affaire à des fonctions « classiques » et on peut facilement faire apparaître des dérivées dans l’expression obtenue :
( )
5 2 1 1 1 3 2 10 1 1 3 23 2 3 3 3 2 9
f x x x
x x
= − × × + × × = − × + ×
La fonction 1 x 2
6 x admet comme primitive la fonction x6 x et la fonction x63x2 admet comme primitive la fonction x6x3.
La fonction f admet donc comme primitive sur \+* la fonction F définie par :
( )
10 1 33 9
F x = − × x+ ×x
PanaMaths Octobre 2007
Résultat final
La fonction 10 1 3
: 3 9
F x6− x+ x est une primitive
de la fonction
5 3
: 3
f x x x
x
6 − + sur l’intervalle \+*
