Calculs de primitives

Stanislas

T.D. 4

Calculs de primitives

2015/2016

Dans chacun des exercices, vous déterminerez une primitive des fonctions proposées en précisant leur ensemble de dénition. Les primitives classiques doivent pouvoir être retrouvées rapidement.

Partie I : Primitives classiques

Fonction Primitive Intervalle de validité

x^α, α6=−1 ^x_α+1^α+1 Rsiα ∈N,R^∗+ ouR^∗− siα ∈Z−\{−1},R^?+ siα∈R\Z

1

x ln|x| R^∗− ou R^∗+

ln|x| xln|x| −x R^?+ ou R^?−

a^x, a >0, a6= 1 _ln^ax_a R

sinx −cosx R

cosx sinx R

tanx −ln|cosx| ]−^π₂ +kπ,^π₂ +kπ[, k∈Z

sinhx coshx R

coshx sinhx R

tanhx ln coshx R

tan²x tanx−x ]−^π₂ +kπ,^π₂ +kπ[, k∈Z

1

cosh²x tanhx R

1

sinh²x −cothx R^∗

1

cos²x tanx ]−^π₂ +kπ,^π₂ +kπ[, k∈Z

1

sin²x −cotanx ]kπ, π+kπ[, k∈Z

1

sinx ln|tan^x₂| ]kπ, π+kπ[, k∈Z

1

cosx ln|tan(^x₂ +^π₄)| ]−^π₂ +kπ,^π₂ +kπ[, k∈Z

tanh²x x−tanhx R

1

x²+1 arctanx R

√ 1

1−x² arcsinx ]−1,1[

Exercice 1. (Fonctions usuelles)Soit aun réel strictement positif.

1. f1(x) = ^x3+5x_x2²⁻⁴. 2. f2(x) = cotan(x). 3. f3(x) = coth(x).

4.f4(x) = _a2+x^{1 2}. 5.f₅(x) = _a2−x^{1 2}. 6.f6(x) = ^{√ 1}

a²−x².

7. f7(x) = _9+x¹ 2. 8. f8(x) = ^√_25−16x¹ ₂.

Partie II : Techniques élémentaires Exercice 2. (u⁰·f⁰(u))

1. f1(x) = _(x3^8x+2)^{2 3}. 2. f2(x) =x√

1−2x². 3. f3(x) = (e^x+ 1)³e^x.

4.f₄(x) = _3+sin^sin(x)2(x). 5.f₅(x) = ^√_1−x^x2 ₆.

6. f6(x) = _x4^x+3. 7. f7(x) = _x2+10x+30¹ .

Stanislas A. Camanes

T.D. 4. Calculs de primitives MPSI 1

Exercice 3. (Changements de variable)

1. f₁(x) = _ex¹+1. 2.f₂(x) =√

e^x−1. 3. f₃(x) = ¹

x³²+1. Exercice 4. (Intégrations par parties)

1. f1(x) = arcsin(x). 2. f2(x) =x²ln(x).

3. f₃(x) =x√ 1 +x.

4.f4(x) =xtan²(x). 5.f5(x) = ln(x²+ 2).

6.f₆(x) =√

1 +xln(x).

7. f7(x) =xarctan²(x). 8. f₈(x) =e^arccos(x).

Partie III : Fractions rationnelles

Pour calculer la primitive d'une fraction rationnelle, on calcule sa décomposition en éléments simples.

Primitives de la forme

Z dx (x−a)ⁿ.

∗ Sin= 1, alors

Z dx

x−a = ln|x−a|.

∗ Sin>2, alors

Z dx

(x−a)ⁿ = 1

(1−n)(x−a)ⁿ⁻¹. Primitives de la forme

Z ax+b

x²+px+q dx= a 2

Z 2x+p

x²+px+qdx+ b−ap

2

Z dx

x+^p₂2

+ ^4q−p₄ ².

∗ Si4q−p² >0, on utilise la fonction arctangente.

∗ Si4q−p² <0, on utilise la fonction logarithme.

Exercice 5. (Fractions rationnelles) 1. f₁(x) = ^x+2_x+1.

2. f₂(x) = _(x+1)^x2+2x2. 3. f3(x) = _x2¹−9.

4.f₄(x) = _x3¹+1. 5.f5(x) = _x^x3²+x^−3x−12−2x. 6.f6(x) = _(x2^2x+1)^{3 2}.

7. f₇(x) = ^2x−7_x2+9. 8. f₈(x) = _x2−4x+8^x+1 .

Partie IV : Polynômes, Exponentielles et Trigonométrie Pour calculer une primitive de la forme

Z

P(x)e^αxcos(ωx)dx, on utilise l'écriture complexe de la fonction cosinus puis on cherche une solution sous la forme polynôme / exponentielle. Ceci revient à chercher des primitives de la formeZ

P(x)e^axdx aveca∈C.

∗ Sia= 0, on intègre un polynôme.

∗ Sia6= 0, on cherche une primitive sous la formeQ(x)e^ax, oùQest un polynôme de même degré queP. Ainsi, par dérivation on obtient la relation aQ(x) +Q⁰(x) =P(x).

Exercice 6.Soitn∈N.

1. f1(x) =xcosx. 2. f2(x) =x²e^−3x.

3.f3(x) = sinhxcosx. 4. f4(x) =xⁿe^x.

Partie V : Fonctions rationnelles en cosinus et sinus

Fonctions polynomiales des fonctions trigonométriques.On utilise les formules de linéarisation.

Exercice 7. (Fonctions trigonométriques)Soienta, btels queab6= 0eta² 6=b².

1. f1(x) = sin(x) sin(3x). 2.f2(x) = sin³(x). 3. f3(x) = cos(ax) cos(bx).

Stanislas A. Camanes

T.D. 4. Calculs de primitives MPSI 1

Règles de Bioche : Z

F(cosx,sinx)dx.

On se ramène au calcul d'une primitive de fraction rationnelle.

(i). On pose ω(x) =F(cosx,sinx)dx.

∗ Siω(−x) =ω(x), alors on eectue le changement de variable t= cosx.

∗ Siω(π−x) =ω(x), alors on eectue le changement de variablet= sinx.

∗ Siω(π+x) =ω(x), alors on eectue le changement de variablet= tanx.

(ii). En dernier recours, on eectue le changement de variablet= tan^x₂. Exercice 8. (Règles de Bioche)

1. f1(x) = _cos¹_x+2. 2. f₂(x) = _2+cos^sin3x_x.

3. f3(x) = _1+sin^tanx2x.

4. f₄(x) = _(1+cos^{4 sin}x)(3+cos 2x)^x . Partie VI : Fractions rationnelles et Exponentielle

Eectuer le changement de variable t = e^x. En présence de fonctions cosh ou sinh qui inter- viennent, on peut les remplacer par leur forme exponentielle.

Exercice 9.

1. f1(x) = _{1+sinhx+2 cosh}¹ _x. 2. f2(x) = _sinh¹ _x. Partie VII : Fractions rationnelles et Racines Primitives de la forme

Z

F x, ⁿ

rax+b cx+d

! dx.

Eectuer le changement de variable t= ⁿ qax+b

cx+d. Exercice 10.

1. f₁(x) =q

1+x

1−x. 2. f₂(x) =

√1+x−√⁴

√ x+1 1+x+√⁴

x+1. Partie VIII : Primitives de la forme

Z F

x,p

ax²+bx+c dx

On écrit le trinôme sous forme canoniquea x+_2a^b 2

+c− ^b_4a².

∗ Sia = α² et c− _4a^b2 =β², alors on eectue le changement de variable x = ^β_αsinht− _a^b, pour pouvoir utiliser la relation1 + sinh²= cosh².

∗ Sia=α² etc−_4a^b2 =−β², alors on eectue le changement de variablex= ^β_αcosht−_a^b, pour pouvoir utiliser la relationsinh²= cosh²−1.

∗ Sia =−α² et c− ^b_4a² = β², alors on eectue le changement de variable x = ^β_αsint−_a^b, pour pouvoir utiliser la relationsin²= 1−cos².

Les deux premières méthodes nécessitent la connaissance des fonctionsargsh etargch.

Exercice 11.

1. f₁(x) =√ x²−1. 2. f₂(x) =x²√

1−x².

3. f₃(x) =√

2x²−3x+ 5. 4. f₄(x) = ^√_2x−x^x ₂.

Stanislas A. Camanes

T.D. 4. Calculs de primitives MPSI 1

Partie IX : Divers Exercice 12. (-)

1. I₁= Z 1

0

p1−x²dx. 2. I₂=

Z 2 1

lnt

√t dt. 3. I3=

Z e

1

du u+u(lnu)².

4.I₄ = Z 1

0

dt e^t+ 1. 5.I₅=

Z 2 1

ln(1 +x)−lnx x² dx. 6.I6 =

Z 1 0

ln(1 +t²)dt.

7. I7 = Z e

1

xⁿlnx dx.

8. I8 = Z 1/2

0

arcsint dt. 9. I₉ =

Z e^π

1

sin(lnt)dt.

Stanislas A. Camanes