MPSI A 2004-2005
Feuille d’exercices
Calculs de primitives ; zéros de fonctions
Calcul de primitives
Exercice 1: Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant les inter- valles de définition.
x4 x2+1
x+1 x2+x−20
x2−2x−1 x2−10x+29 cosx
2cosx
3 cos5x sin 2x sinh 3x
e3xsin 4x (cos x)ln(1+cos x) arg sinh x log(1+x2)
√ x x+1
1 1+ex
√ 1 ex−1
x2 p|x2−1|
ln(√3
x−1) x+1
(x−1)√
x2+2x+2 (arcsin x)2 1
cos x+sin x
1 cos4x+sin4x
p 1
|(b−x)(x−a)|
sinh x 1+tanh x.
Exercice 2: [Prolongement]
Soit f : t 7→ 2+cost1 et F sa primitive qui s’annule en 0. Déterminer F(π) puis F(x−2π)en fonction de F(x). Déterminer enfin F(x)pour tout x∈R.
Exercice 3:
1. Pour tout n∈N, on pose In= Z 1
0
(1−t2)ndt. Déterminer une relation de ré-
currence entre Inet In−1. En déduire
∑
n k=0(−1)k 2k+1
µ n k
¶
. Trouver une troisième méthode pour calculer In.
2. Pour p,q∈N, on pose Ip,q= Z π/2
0
cospt sinqtdt. Calculer Ip,q. (On raisonnera par récurrence pour p et q pairs.)
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Calcul de zéros de fonctions
Exercice 4: Soit P=X3+X+1. Déterminer une valeur approchée à 10−10près de son unique racine réelle par la méthode d’itération puis par la méthode de Newton.
Exercice 5: Soit f : R→R la fonction définie par f(t) =t3−4t+1.
1. Déterminer le nombre de zéros de f et une valeur approchée à 10−1près.
2. Soit φ(x) = 14(x3+1). Étudier si les zéros sont des points fixes attractifs ou répulsif deφ. En déduire une valeur approchée des points fixes par itération.
3. Soit r un zéro de f . Reprendre la question précédente à partir de l’équation r=±
q 4−1x.
4. Déterminer pour chaque racine une approximation suffisante pour pouvoir appliquer en toute sécurité la méthode de Newton. Pour chaque racine, déter- miner le nombre d’itérations nécessaire pour avoir une précision décimale à 10−20 près.
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