« Calculs de primitives et d’intégrales » !

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI I NTÉGRATION SUR UN SEGMENT

Pour commencer,

refaites donc les exercices du chapitre

« Calculs de primitives et d’intégrales » !

1 C ALCULS DE PRIMITIVES ET D ’ INTÉGRALES

1 Calculer les intégrales suivantes : 1)

Z 1

0

min

t, 1 − 2t ² dt. 2) Z 1

0

| 3t − 1 | dt.

3) lim

n → + ∞

Z n

0

e ^{−⌊ t ⌋} dt. 4) Z 2

− 1

x | x | dx . 5)

Z 4

0

sin ⌊ x ⌋ π 4 dx.

————————————–

2 Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1) x 7−→ e ^2x sin x. 2) x 7−→ ch x cos x.

————————————–

3 Calculer : 1)

Z ^π ₄

0

cos ⁴ x d x.

2) Z ^π

2 0

cos ² x sin(3x) dx.

————————————–

4 Calculer : 1)

Z 1

0

Arctan x dx.

2)

Z 1

0

x (Arctan x) ² dx.

————————————–

5 Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1) x 7−→ 1

1 + x ² 3 en posant : x = tan t.

2) x 7−→ 1 x p

x + 1 en posant : t = p x + 1.

————————————–

6 Déterminer pour tout z ∈ C une primitive de la fonction t 7−→ 1

t − z .

————————————–

7 Soit f ∈ D (I , R ) bijective de I sur J = f (I ).

On note F une primitive de f sur I. Déterminer une expression explicite d’une primitive de f ^{− 1} sur J .

————————————–

8 On pose : I =

Z ^π

6 0

cos ² t cos(2t) dt et : J =

Z ^π

6 0

sin ² t cos(2t) dt.

1) Calculer I + J en posant : x = tan t.

2) En déduire I et J .

————————————–

9 1) Justifier, pour tous p ∈ N et q ∈ ¹ 0, p º , l’existence de l’intégrale : I _p,q =

Z 1

0

x ^p (ln x) ^q dx.

2) Exprimer I _p,q en fonction de I _{p,q − 1} pour tous p ∈ N ^∗ et q ∈ ¹ 1, p º . On commencera par un calcul sur [ǫ, 1] pour tout ǫ ∈ ]0, 1].

3) En déduire que : I _n,n = ( − 1) ⁿ n!

(n + 1) ⁿ⁺¹ pour tout n ∈ N .

————————————–

10 On pose pour tout n ∈ N : u _n =

Z ^π ₄

0

tan ²ⁿ⁺² t dt et S _n = X n

k=0

( − 1) ^k 2k + 1 . 1) Étudier la monotonie de (u _n ) _{n ∈} N .

2) Simplifier u _n + u _n+1 pour tout n ∈ N . 3) Montrer que pour tout n ∈ N : S _n = π

4 +( − 1) ⁿ u _n . 4) Montrer que : u _{n n} ∼

→ + ∞

1

4n et déterminer :

n → lim + ∞ S _n .

————————————–

11 1) a) Factoriser X ² − 2X cosθ + 1 pour tout θ ∈ R . b) Justifier qu’on peut poser :

I (x) = Z 2π

0

ln x ² − 2x cos θ + 1 dθ pour tout x ∈ R \

− 1, 1 . 2) Montrer que la fonction I est paire.

3) a) Pour tout θ ∈ R , déterminer la factorisation irréductible sur R de X ⁴ − 2X ² cosθ + 1.

b) En déduire que : I x ²

= 2 I (x) pour tout x ∈ R \

− 1, 1 .

4) a) Montrer que pour tout x ∈ ] − 1, 1[ : 4π ln 1 − | x |

¶ I (x) ¶ 4π ln 1 + | x | en exploitant l’inégalité triangulaire.

b) En déduire que I est nulle sur ] − 1, 1[.

5) Après avoir calculé I

 1 x

‹

, calculer I (x) pour tout x ∈ R \ [ − 1, 1].

————————————–

2 E XERCICES DIVERS 12 Soit f ∈ C [0, 1], R

. Montrer que f possède une et une seule primitive F sur [0, 1] pour laquelle :

Z 1

0

F (t) dt = 0.

————————————–

13 1) Soient f , g ∈ C [a, b], R

. Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

Z b

a

f (t) g(t) dt ¶

v u t Z b

a

f (t) ² dt v u t Z b

a

g(t) ² dt.

On pourra observer que λ 7−→

Z b

a

(λ f + g) ² est polynomiale et positive ou nulle sur R .

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI I NTÉGRATION SUR UN SEGMENT

2) Soient f , g ∈ C [0, 1], R

deux fonctions po- sitives pour lesquelles : f g ¾ 1. Montrer que :

Z 1

0

f (t) dt × Z 1

0

g(t) dt ¾ 1.

3) Soit f ∈ C ¹ [0, a], R

une fonction pour laquelle : f (0) = 0. On note F l’unique primi- tive de | f ^′ | qui s’annule en 0.

a) Montrer que : Z a

0

f (t) f ^′ (t) dt ¶

Z a

0

F (t) F ^′ (t) dt.

b) En déduire l’inégalité d’Opial : Z a

0

f (t) f ^′ (t) dt ¶ a

2 Z a

0

f ^′ (t) ² dt.

————————————–

14 Soit f ∈ C ( R , R ). On pose pour tout x ∈ R : 1) ϕ(x) =

Z x

0

f (t + x) dt.

2) ϕ(x) = Z 2π

0

f (x − t) cos t dt.

Montrer que : ϕ ∈ C ¹ ( R , R ) et calculer ϕ ^′ .

————————————–

15 On pose pour tout x ∈ R ^∗ : ϕ(x) = 1

x Z x

− x

cos t ² + t dt.

1) Montrer que ϕ est dérivable sur R ^∗ et cal- culer sa dérivée.

2) Montrer que ϕ est prolongeable par conti- nuité en 0, puis que son prolongement par conti- nuité est dérivable en 0.

————————————–

16 Déterminer l’ensemble des fonctions f ∈ C ( R , R ) pour lesquelles pour tout x ∈ R :

1) f (x) +

Z x

0

(x − t) f (t) dt = 1.

2) f (x) = 1 + 2 Z x

0

f (t) cos(x − t) dt.

————————————–

17 Soient I un intervalle, a, b ∈ I et f ∈ C ¹ (I , C ) une fonction qui ne s’annule pas sur I .

1) On pose pour tous x ∈ I : g(x) = Z x

a

f ^′ (t) f (t) dt.

Vérifier l’égalité : f = f (a)e ^g .

2) Montrer que si : f (a) = f (b), alors le nombre complexe 1

2iπ Z b

a

f ^′ (t)

f (t) dt est un entier relatif.

————————————–

18 Soient f , g ∈ CM [a, b], R

monotones de mêmes sens de variation.

1) Montrer que pour tous x, y ∈ [a, b] :

€ f (y) − f (x) Š €

g(y) − g(x) Š

¾ 0.

2) En déduire l’inégalité : Z b

a

f (t) dt Z b

a

g(t) dt ¶ (b − a) Z b

a

f (t) g(t) dt.

————————————–

19 Soit f ∈ C [a, b], R

. À quelle condition né- cessaire et suffisante l’inégalité triangulaire :

Z b

a

f (t) dt ¶

Z b

a

f (t) dt est-elle une égalité ?

————————————–

20 Soit f ∈ C [a, b], R

. Montrer que la fonction x 7−→

Z b

a

f (t) sin(x t) dt est lipschitzienne sur R .

————————————–

21 Soit f ∈ C [0, 1], R

une fonction pour laquelle : Z 1

0

f (t) dt = 1

2 . Montrer que f possède un point fixe.

————————————–

22 Soit P =

+ ∞

X

k=0

a _k X ^k ∈ C [X ].

1) Calculer : Z 2π

0

P e ^it

e ^{− ikt} dt pour tout k ∈ N . 2) Justifier l’existence du réel sup

U | P | , puis montrer que pour tout k ∈ N : | a _k | ¶ sup

U | P | .

————————————–

23 Soit f ∈ C [a, b], R

. On fait l’hypothèse que pour tout k ∈ ¹ 0, n º :

Z b

a

t ^k f (t) dt = 0.

1) Montrer que pour tout P ∈ R _n [X ] : Z b

a

P(t) f (t) dt = 0.

2) En déduire que f s’annule n + 1 fois au moins sur ]a, b[.

————————————–

24 1) Montrer que pour tout Q ∈ R [X ] : Z 1

−1

Q(x) dx = − i Z π

0

Q e ^it e ^it dt.

2) Montrer que pour tout P ∈ R [X ] : Z 1

− 1

P(x) ² dx = Z 1

− 1

P( − x) ² dx ¶ 1 2

Z π

− π

P e ^{it 2} dt.

3) En déduire que pour tous a ₀ , . . . , a _n ∈ R : 0 ¶

X

0 ¶ i,j ¶ n

a _i a _j i + j + 1 ¶ π

X n

k=0

a ² _k (inégalité de Hilbert).

————————————–

2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI I NTÉGRATION SUR UN SEGMENT

3 L IMITES D ’ INTÉGRALES

25 Pour tout n ∈ N ^∗ , on note f _n la fonction continue par morceaux sur [0, 1] définie par :

f _n (x) =

 

 

 



0 si : x = 0 2n(1 − nx) si : 0 < x < 1

n 0 si : x ¾ 1

n .

Représenter graphiquement f _n pour tout n ∈ N ^∗ , puis comparer : lim

n → + ∞

Z 1

0

f _n et Z 1

0

n → lim + ∞ f _n .

————————————–

26 Étudier les limites suivantes : 1) lim

n→ + ∞

Z 1

0

t ⁿ

e ^t + 1 dt. 2) lim

x→0

⁺

Z 3x

x

cos t t dt.

————————————–

27 Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ [ − 1, 1] : Z x

0

1 − − t ² n+1

1 + t ² dt = X n

k=0

( − 1) ^k x ^2k+1 2k + 1 , puis faire tendre n vers + ∞ .

————————————–

28 Soit f ∈ C [0, 1], R

. Calculer : lim

x → 0

1 x

Z x

0

f (t) dt, puis interpréter géométriquement.

————————————–

29

1) Montrer que la fonction t 7−→ sin t

t est décrois- sante sur

i 0, π

2 h

. 2) En déduire : lim

x → 0

⁺

Z πx

x

sin t t ² dt.

————————————–

30

1) Montrer que pour : x − x ³

6 ¶ sin x ¶ x tout x ∈ [0, π].

2) En déduire : lim

x→ + ∞

Z x

0

sin π t + x dt.

————————————–

31 On pose :

f (x) =

 

 



 

  Z x

²

x

dt

ln t si : x ∈ R ^∗

+ \ 1 0 si : x = 0 ln 2 si : x = 1.

1) a) Calculer : Z x

²

x

dt

t ln t pour tout x ∈ R ^∗

+ \ 1 . b) En déduire que : x ² ln 2 ¶ f (x) ¶ x ln 2 pour

tout x ∈ ]0, 1[ et que pour tout x > 1 : x ln 2 ¶ f (x) ¶ x ² ln 2.

c) Montrer alors que f est continue en 0 et en 1 et calculer : lim

+ ∞ f .

2) a) Montrer que f est de classe C ¹ sur R ^∗

+ \ 1 et y calculer f ^′ .

b) En déduire enfin que f est de classe C ¹ sur R ₊ tout entier.

3) Justifier l’existence de : Z 1

0

t − 1

ln t dt et déter- miner la valeur de cette intégrale.

————————————–

32 1) Montrer que pour toute fonction f ∈ C ¹ [a, b], C :

x → lim + ∞

Z b

a

f (t)e ^{ix t} dt = 0 (lemme de

Riemann-Lebesgue).

2) En déduire que pour toute fonction f ∈ C ¹ [a, b], R :

x → lim + ∞

Z b

a

f (t) cos(x t) dt = lim

x → + ∞

Z b

a

f (t) sin(x t) dt = 0, puis interpréter géométriquement ces limites.

————————————–

33 Soit f ∈ CM ( R ₊ , R ).

On suppose que : f (x) =

x → + ∞ o

 1 x

‹ . Montrer que : lim

x → + ∞

Z 2x

x

f (t) dt = 0.

————————————–

34 Soit f ∈ C [0, 1], R

. Montrer que :

n→ lim + ∞

Z 1

0

f t ⁿ

dt = f (0).

————————————–

35 On suppose : a < b. Soient f ∈ C [a, b], R posi- tive ou nulle.

1) Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ :

n

v u t Z b

a

f (t) ⁿ dt ¶ p

ⁿ

b − a k f k _∞ . 2) Montrer que :

n → lim + ∞ n v u t Z b

a

f (t) ⁿ dt = k f k _∞ .

————————————–

4 F ORMULES DE T AYLOR -L AGRANGE

36 Soient f ∈ C (I , C ) et a ∈ I . Montrer que la fonc- tion x 7−→

Z x

a

(x − t) ^{n − 1}

(n − 1)! f (t) dt est une primitive n ^ème de f sur I .

————————————–

37 Montrer que pour tout x ∈ [0, π] : x − x ³

6 ¶ sin x ¶ x − x ³ 6 + x ⁵

120 .

————————————–

3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI I NTÉGRATION SUR UN SEGMENT

38 Montrer que : sin x =

+ ∞

X

k=0

( − 1) ^k x ^2k+1 (2k + 1)!

et : cos x =

+ X ∞

k=0

( − 1) ^k x ^2k

(2k)! pour tout x ∈ R .

————————————–

39 Soit f ∈ C ² ( R , R ). On suppose f et f ^′′ bornées sur R .

1) Montrer que pour tous x, h ∈ R : f (x + h) − f (x) − h f ^′ (x)

¶ h ² 2 k f ^′′ k _∞ et :

f (x − h) − f (x) + h f ^′ (x) ¶ h ²

2 k f ^′′ k ∞ . 2) En déduire que pour tous x ∈ R et h > 0 :

f ^′ (x)

¶ k f k ∞

h + h

2 k f ^′′ k _∞ , puis que f ^′ est bornée sur R .

3) En déduire l’inégalité : k f ^′ k _∞ ¶ q

2 k f k _∞ k f ^′′ k _∞ .

————————————–

40 Soient λ > 0 et f ∈ C ^∞ ( R , R ). On suppose que pour tout n ∈ N : f ⁽ⁿ⁾ (0) = 0 et

f ⁽ⁿ⁾

∞ ¶ λ ⁿ n!.

1) Montrer que f est nulle sur

•

− 1 λ , 1

λ

˜ . 2) Montrer que f est nulle sur R .

————————————–

5 S OMMES DE R IEMANN

41 Déterminer un équivalent lorsque n tend vers + ∞ de : 1)

X n

k=1

1

n ² + k ² . 2) X 2n

k=n+1

1 k ² . 3)

X n

k=1

k ²

n ² + k ² . 4) X n

k=1

k ^α (α ¾ 0).

5) X n

k=1

cos ² kπ

n . 6)

X n

k=1

Æ k(n − k).

————————————–

42 1) Montrer l’existence de deux réels α > 0 et λ ¾ 0 pour lesquels pour tout x ∈ ] − α, α[ :

x − λ x ² ¶ ln(1 + x) ¶ x.

2) Calculer : lim

n → + ∞

Y n

k=1

 1 + 1

n f

 k n

‹‹

pour toute fonction f ∈ C [0, 1], R

. 3) En déduire : lim

n → + ∞

Y n

k=1

 1 + k

n ²

‹ .

————————————–

43 1) Soient a ₁ , . . . , a _n , b ₁ , . . . , b _n ∈ R . a) Montrer que :

X

1 ¶ i ¶ j ¶ n

(a _j − a _i )(b _j − b _i ) = n X n

k=1

a _k b _k −

‚ _n X

i=1

a _i

Œ ‚ _n X

i=1

b _i

Π.

b) On suppose à présent : a ₁ ¶ . . . ¶ a _n et b ₁ ¶ . . . ¶ b _n . Montrer l’inégalité de Tcheby- chev :

‚ 1 n

X n

i=1

a _i

Π1 n

X n

j=1

b _j

!

¶ 1 n

X n

k=1

a _k b _k . 2) Soient f , g ∈ CM [a, b], R

croissantes. Montrer que :

Z b

a

f (t) dt Z b

a

g(t) dt ¶ (b − a) Z b

a

f (t) g(t) dt.

————————————–

44 Soit x ∈ R \

− 1, 1 . Après en avoir justifié l’existence, calculer :

Z 2π

0

ln x ² − 2x cos θ + 1 dθ grâce à des sommes de Riemann.

————————————–

4