Chapitre 1
Primitives et intégrales
A Primitives
Activité 1p171
1 Dénition et premières propriétés
Dénition Soitf une fonction dénie sur un intervalleI. SoitF une fonction. On dit queF est une primitive def surI siF est dérivable surI et siF0(x) =f(x)pour toutx∈I.
Exemplef(x) = 2x+ 3et F(x) =x2+ 3x+ 5, dénies surR.
Théorème SoitF une primitive def surI. Alors toutes les primitivesGdef sur I s'écrivent sous la forme :
G(x) =F(x) +k oùk∈R
Preuve : On prouve d'abord queGest bien une primitive def.
On prouve ensuite que siGest une primite def, alorsF−Gest une fonction constante. 2 Remarque Graphiquement, deux primitives sont représentées par deux courbes dont l'une est une trans- lation verticale de l'autre (l'écart entre les deux est une constante).
Remarque Il existe une unique primitive prenant une valeury0 donnée en une valeurx0donnée.
Exemple primitive def plus haut s'annulant en2.
Proposition Soitf et g deux fonctions dénies sur I et soit F et G deux primitives surI de f et g respectivement. Alors la fonctionF+Gest une primitive def +g surI.
Preuve : On sait que(F+G)0=F0+G0=f+g. 2
Proposition Soitf une fonction dénie sur Iet F une primitive def surI. Soitαun réel xé.
AlorsαF est une primitive deαf surI.
Preuve : On sait que(αF)0=αF0=αf. 2
→Exercices 14,16,17,18,19,21p186
1
2 CHAPITRE 1. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
2 Recherche de primitives
Tableau de primitives Voir page 174
Exemple D et Ep175
→Exercices 34,37,39p188
→Exercices 42,44p189
B Intégrale
Activité 1p170 Activité 2p171
Dénition Soitf une fonction continue sur un intervalle[a;b]. SoitF une primitive def sur[a;b]. Alors l'intégrale de la fonctionf entreaetb est le nombreF(b)−F(a). On le note :
Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
ExempleR1 0 x2dx
Remarque le choix de la primitive n'a pas d'importance (les constantes se simpliant durant la sous- traction).
Proposition Graphiquement, lorsque la fonctionf est positive, l'intégrale correspond à l'aide se situant entre la courbe et l'axe des abscisses.
Preuve : Admis 2
Dessin
Exemple Fonction ane Proposition
Z b
a
f(x)dx=− Z a
b
f(x)dx
Preuve : Il sut d'appliquer la dénition et d'observer. 2
→Exercices 57,58,60,62p190 et 67p191
1 Propriétés
Théorème (Relation de Chasles) Soitf une fonction continue surIeta,betctrois réels deI. Alors : Z c
a
f(x)dx= Z b
a
f(x)dx+ Z c
b
f(x)dx Dessin
→Exercices 77,78p193
B. INTÉGRALE 3 Théorème (Linéarité de l'intégrale) Soitf etgdeux fonctions continues sur[a;b]etkun réel. Alors :
Z b
a
[f(x) +g(x)]dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx
Z b
a
kf(x)dx=k Z b
a
f(x)dx
Preuve : Exercice. 2
Représentation : voir page 178.
Proposition Soit f et g deux fonctions dénies sur [a;b] telles que f(x) ≤g(x) pour toutx∈ [a;b]. Alors :
Z b
a
f(x)≤ Z b
a
g(x)dx
Preuve : Dessin pour des fonctions positives 2
Exemple encadrement deR1
0 xsinxdx.
→Exercices 75p193
2 Valeur moyenne
Dénition Soitf une fonction dénie sur[a;b]. On appelle valeur moyenne def sur[a;b]la valeur de :
µ= 1 b−a
Z b
a
f(x)dx
Graphiquement, dans le cas où f est une fonction positive, µ est la hauteur du rectangle de longueur b−aqui a la même aire que celle entre la courbe def et l'axe des abscisses.
dessin (Lire page 180 indice de Gini et surplus)
→Exercices 87,88p195
