I – Intégrales impropres de fonctions continues sur [

(1)

Chapitre V : COMPLÉMENTS SUR L’INTÉGRATION GÉNÉRALISÉE À UN INTERVALLE QUELCONQUE

I – Intégrales impropres de fonctions continues sur [a ; +∞[ ou ]-∞ ; a] 1) Rappels de 1^ère année

a. Définitions

Définition 1 : Si est continue sur ; +∞, avec réel, on dit que l’intégrale impropre converge lorsque admet une limite finie lorsque tend vers +∞.

On a alors :

= lim_→

.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre diverge.

Exemple 1 :

1 L’intégrale 1

'

( converge. En effet, ↦ 1

' est continue sur 1; +∞ et pour tout ∈ 1; +∞, 1

'

( = 2−1 4₍

= −1

+ 1 → 1 lorsque tend vers + ∞.

On peut donc dire que 1

'

( converge et que 1

'

( = 1

2 L’intégrale 1

( diverge. En effet, ↦1

est continue sur 1; +∞ et pour tout ∈ 1; +∞, 1

( = ln 8₍ = ln − ln1 = ln → +∞ lorsque tend vers + ∞.

On en déduit que l’intégrale 1

( diverge.

Définition 2 : Si est continue sur 8−∞; 8, avec réel, on dit que l’intégrale impropre ₉ converge lorsque admet une limite finie lorsque tend vers −∞.

On a alors :

9 = lim_→9

.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre ₉ diverge.

Exemple 2 : L’intégrale :^< ^;

9 converge. En effet, ↦ :^; est continue sur 8−∞; 08 et pour tout ∈ 8−∞; 08, :^< ^;

= :^;8^< = 1 − : → 1 lorsque tend vers − ∞.

On peut donc dire que :^< ^;

9 converge et que :^< ^;

9 = 1

(2)

Définition 3 : Si est continue sur ℝ, on dit que l’intégrale impropre ₉ converge lorsque, pour un réel ? arbitrairement choisi, les intégrales impropres ₉^@ et _@ sont toutes deux convergentes.

On a alors :

9 = ^@

9 +

@ .

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre ₉ diverge.

Remarque 1 :

1) Le résultat précédent ne dépend pas du réel ? choisi.

2) Si au moins l’une des deux intégrales ₉^@ et _@ diverge, alors l’intégrale ₉ est divergente.

b. Intégrales de référence

Théorème 1 : Intégrales de Riemann impropres en +∞

Soit B un réel.

Pour tout réel D strictement positif, l’intégrale 1

E

F converge si et seulement si B > 1.

Remarque 2 :

Les intégrales de Riemann impropres en + ∞ les plus utilisées sont 1

E

( .

Exemple 3 :

Les intégrales 1

'

( et 1

√

( sont convergentes.

Les intégrales 1

( et 1

√

( sont divergentes.

Théorème 2 : Soit J un réel.

L’intégrale : ^9K;

< converge si et seulement si J > 0.

Remarque 3 : Cette intégrale est généralement utilisée pour définir des densités de probabilités.

2) Cas où les fonctions sont positives a. Autre critère de convergence

Théorème 3 : Si est continue et positive sur ; +∞, avec réel, l’intégrale impropre converge si et seulement si la fonction ↦ est majorée sur ; +∞.

Remarque 4 : De même, si est continue et positive sur 8−∞; 8, avec réel, l’intégrale impropre ₉ converge si et seulement si la fonction ↦ est majorée sur 8−∞; 8.

(3)

b. Critère de comparaison globale

Théorème 4 : Soient et L deux fonctions continues sur ; +∞, avec réel.

On suppose que et L sont telles que, au voisinage de +∞ : 0 ≤ ≤ L . 1 Si L

converge alors

converge.

2 Si

diverge alors L

diverge.

Exemple 4 :

Étudier la nature des intégrales 1

O+ 2 + 1

( et ln

√

( .

c. Critère de négligeabilité

On suppose que et L sont positives au voisinage de + ∞ et que =PL . 1 Si L

converge alors

converge.

2 Si

diverge alors L

diverge.

Exemple 5 :

Étudier la nature des intégrales : ^9;^Q

( et ln

' .

(

d. Critère d’équivalence

On suppose que et L sont positives au voisinage de + ∞ et que ~L . Les intégrales

et L

sont de même nature.

Exemple 6 :

Étudier la nature des intégrales √

O+ 2 + 1

( et ln T1 +1

U

( .

Remarque 5 : On adapte les théorèmes 4, 5 et 6 au cas 8−∞; 8 c’est-à-dire pour les intégrales de la forme

9 .

(4)

II – Intégrales impropres de fonctions continues sur [a ; b[ ou ]a ; b]

Dans ce paragraphe, et D désignent deux réels tels que < D. 1) Définitions

Définition 4 : Si est continue sur ; D, on dit que l’intégrale impropre ^F converge lorsque admet une limite finie lorsque tend vers D.

On a alors : ^F

= lim_→F

.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre ^F diverge.

Exemple 7 : L’intégrale 1

<

9( diverge. En effet, ↦ 1

est continue sur −1; 0 et pour tout ∈ −1; 0, 1

9( = ln− 8₉₍ = ln− − ln 1 → −∞ lorsque tend vers 0.

On en déduit que l’intégrale 1

<

9( diverge.

Définition 5 : Si est continue sur 8; D8, on dit que l’intégrale impropre ^F converge lorsque ^F admet une limite finie lorsque tend vers .

On a alors : ^F

= lim_→ ^F

.

Exemple 8 : L’intégrale 1

√

W

< converge. En effet, ↦ 1

√ est continue sur 80; 48 et pour tout ∈ 80; 48,

1

√

W

= Y2√ Z^W = 4 − 2√ → 4 lorsque tend vers 0.

On peut donc dire que 1

√

W

< converge et que 1

√

W

< = 4.

2) Intégrales de référence

Théorème 7 : Intégrales de Riemann impropres en 0 Soit B un réel.

Pour tout réel D strictement positif, l’intégrale 1

E F

< converge si et seulement si B < 1.

Remarque 6 :

Les intégrales de Riemann impropres en 0 les plus utilisées sont ⁽ 1 .

(5)

Exemple 9 :

Les intégrales 1

' (

< , 1 √

(

< et 1

(

< sont divergentes.

Les intégrales 1

√

(

< et ⁽

< sont convergentes.

Théorème 8 :

L’intégrale ln ⁽

< , impropre en 0, converge et ln ⁽

< = −1.

3) Critères de comparaison des fonctions positives a. Critère de comparaison globale

Théorème 9 : Soient et L deux fonctions continues sur 8; D8.

On suppose que et L sont telles que, au voisinage de : 0 ≤ ≤ L . 1 Si L ^F

converge alors ^F

converge.

2 Si ^F

diverge alors L ^F

diverge.

Exemple 10 :

Étudier la nature des intégrales 1 + √

(

< et ln3 +

' (

< . b. Critère de négligeabilité

On suppose que et L sont positives au voisinage de et que =_\PL . 1 Si L ^F

converge alors ^F

converge.

2 Si ^F

diverge alors L ^F

diverge.

Exemple 11 :

Étudier la nature de l′intégrale − ln ⁽

< . c. Critère d’équivalence

On suppose que et L sont positives au voisinage de et que ~_\L . Les intégrales ^F

et L ^F

sont de même nature.

(6)

Exemple 12 :

Étudier la nature des intégrales √:^;− 1

(

< et √

ln 1 + ^'

(

<

Remarque 7 : On adapte les théorèmes 9, 10 et 11 au cas ; D c’est-à-dire pour les intégrales de la forme ^F

impropres en D.

4) Cas des intégrales deux fois (au moins) impropre

Définition 6 : Si est continue sur 8; D, on dit que l’intégrale ^F impropre en et D converge lorsque, pour un réel ? arbitrairement choisi, les intégrales impropres ^@ et _@^F sont toutes deux convergentes.

On a alors : ^F

= ^@

+ ^F

@ .

Remarque 8 :

1) Le résultat précédent ne dépend pas du réel ? choisi.

2) Si au moins l’une des deux intégrales ^@ et _@^F diverge, alors l’intégrale ^F est divergente.

Remarque 9 : On peut généraliser (mais c’est très rare) au cas d’une fonction plus de deux fois impropre avec continue sur 8; D sauf en un nombre fini de points ₍, _', … _{_} tels que

< ₍ < _' < … < _{_} < D. L’intégrale ^F

converge si les intégrales ^`

, ^a\`

a

pour 1 ≤ b ≤ c − 1 et

^F

d

convergent et dans ce cas : ^F

= ^`

+ e ^a\`

a _9(

fg(

+ ^F

d

Dans cette remarque, est un réel ou −∞ et D un réel ou +∞.

III – Propriétés des intégrales impropres

Dans ce paragraphe, et D sont tels que h ≤ i avec éventuellement = −∞ ou D = +∞. 1) Linéarité

Théorème 12 : Soient et L deux fonctions continues sur 8; D.

Si les intégrales ^F et L ^F convergent alors, pour tout réel J, J ^F converge et + L ^F converge.

De plus, J ^F = J ^F et + L ^F = ^F + L ^F . Remarque 10 :

J + jL =^F J ^F + j L ^F

(7)

Exemple 13 :

Étudier la nature des intégrales T2

'+ 1 3 √ U

( et k 1

2√ −ln 2 l

(

<

2) Relation de Chasles

Théorème 13 : Soit une fonction continue sur 8; D et un réel ? ∈ 8; D. Si l^mintégrale ^F

converge alors ^F

= ^@

+ ^F

@ .

Exemple 14 : On sait que 1

'

( converge donc pour tout réel ≥ 1, 1

'

( = 1

'

( + 1

'

3) Positivité

Théorème 14 : On rappelle que ≤ D.

Si est une fonction continue et positive sur 8; D et si l^mintégrale ^F converge, alors ^F ≥ 0.

Exemple 15 :

On a vu que l^mintégrale 1 + √

(

< était convergente. De plus, 1

+ √ ≥ 0 sur 80; 18 avec 0 ≤ 1.

On en déduit que 1 + √

(

< ≥ 0.

4) Croissance

Théorème 15 : On rappelle que ≤ D. Soient et L deux fonctions continues sur 8; D. Si pour tout ∈ 8; D, ≤ L et si les intégrales ^F et L ^F convergent alors ^F ≤ L ^F .

Exemple 16 :

On sait que les intégrales 1 + √

(

< et 1

√ sont

(

< convergentes.

De plus, 1

+ √ ≤ 1

√ sur 80; 18 avec 0 ≤ 1. On en déduit que 1 + √

(

< ≤ 1

√

(

< = 2.

On déduit des exemples 15 et 16 que 0 ≤ 1 + √

(

< ≤ 2.

5) Convergence absolue

Définition 7 : Si est continue sur 8; D, on dit que l’intégrale ^F est absolument convergente si l’intégrale | | ^F converge.

(8)

Théorème 16 : Toute intégrale absolument convergente est convergente.

La réciproque est fausse.

Théorème 17 : On rappelle que ≤ D. Soit une fonction continue sur 8; D. Si l’intégrale ^F est absolument convergente, alors t ^F t ≤ | | ^F

6) Calcul des intégrales impropres

Théorème 18 : On ne procède ni à l’intégration par parties ni à un changement de variables

directement dans une intégrale impropre. On se ramène à une intégrale définie sur un segment et on passe ensuite à la limite.

Remarque 11 :

1) Seuls les changements de variables affines de la forme u = + D sont tolérés directement sur une intégrale impropre. On a la certitude que les intégrales de départ et d’arrivée sont de même nature.

2) Le changement de variable u = − conduit aux deux résultats utiles suivants : Théorème 19 :

Si est paire et si

< converge, alors

9 converge et

9 = 2

<

Exemple 17 :

Étudier la nature de l′intégrale :^;

:^;+ 1^' .

9

Théorème 20 :

Si est impaire et si

< converge, alors

9 converge et

9 = 0.

Exemple 18 :

Étudier la nature de l′intégrale :^;

:^;+ 1^' .

9