Intégrale stochastique et crochets des martingales locales continues.

ISFA Vincent Lerouvillois Processus stochastiques - M1 Actuariat lerouvillois@math.univ-lyon1.fr Semestre automne 2019-2020 math.univ-lyon1.fr/homes-www/lerouvillois/

TD n

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Intégrale stochastique et crochets des martingales locales continues.

Le tableau suivant résume le cadre de définition de l’intégrale stochastique I

(θ) := R

0

θ

dB

ainsi que les propriétés du processus associé.

Intégrale de Wiener Intégrale Stochastique généralisée Cadre de définition Fonctions déterministes L

Bon processus Bon processus locaux

R

0

θ

ds < +∞ E h R

0

θ

ds i

< +∞ R

0

θ

ds < +∞ p.s

Propriétés de (I

(θ))

:

Martingale Martingale locale

Variation quadratique : hI(θ)i

= R

θ

ds Crochets de martingale : hI (θ), I(θ

)i

= R

0

θ

θ

ds

I (θ)

− hI (θ)i

est une martingale idem mais que locale Processus Gaussien, centré,

de fonction de covariance : E [I

(θ)I

(θ)] = R

0

θ

du.

Processus à accroissements indépendants.

On rappel aussi que :

— Si M est une martingale locale telle que E [hM

i] < +∞, ∀t ≥ 0, alors M et M

− hM i sont des (vraies) martingales

— Si M et N sont deux martingales locales telles que E [hM

i] < +∞, E [hN

i] < +∞ et E [hM, Ni

] < +∞, ∀t ≥ 0, alors M N − hM, N i est une (vraie) martingale.

Exercice 1 : Une intégrale stochastique

Soit B un mouvement Brownien. Dans chaque cas, dire si R

0

θ

dB

est bien définie et préciser les propriétés du processus stochastique associé ( R

0

θ

dB

)

: 1. θ

= B

avec k ∈ N .

2. θ

= e

.

Exercice 2 : Variation quadratique et mouvements Browniens indépendants.

Soit B

, · · · , B

n mouvement Browniens mutuellement indépendants adaptés par rapport à leur filtration naturelle produit et λ

, · · · , λ

∈ R . Justifier que λ

B

+ · · · + λ

B

est une martingale et calculer sa variation quadratique.

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Exercice 3 : Variation quadratique et intégrales stochastiques.

On note M

= R

0

B

dB

, N

= R

0

e

dB

et V

= R

B

ds.

1. Pour tout t ≥ 0, donnez une expression de hMi

, hNi

, hM, N i

et hM + N, N + V i

. 2. Pour tout t ≥ 0, donnez une expression de E

M

, E

N

et E [M

N

].

3. Écrire X

:= R

0

B

dM

+ R

0

e

dhN i

+ R

0

B

dV

comme processus d’Itô.

Exercice 4 : Retour sur R

0

B

dB

.

En appliquant la formule d’Itô à B

, (re)montrez que R

0

B

dB

=

B

− t . Exercice 5 : Processus d’Itô et martingales

Soit (B

)

un mouvement brownien standard. Ecrire les processus suivants comme processus d’Itô, c’est à dire sous la forme :

x

+ Z

0

µ(s, B

)ds + Z

0

σ(s, B

)dB

.

1. X

= exp(

) sin(B

) 2. Y

= B

exp (B

+ t) 3. Z

= B

− 3tB

t≥0

4. Le(s)quel(s) des processus précédents sont des martingales ? Justifiez votre réponse.

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