Intégrale stochastique et crochets des martingales locales continues.

ISFA Vincent Lerouvillois Processus stochastiques - M1 Actuariat lerouvillois@math.univ-lyon1.fr Semestre automne 2018-2019 math.univ-lyon1.fr/homes-www/lerouvillois/

TD n

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Intégrale stochastique et crochets des martingales locales continues.

Rappel :

Le tableau suivant résume le cadre de définition de l’intégrale stochastique I

(θ) := R

0

θ

dB

ainsi que les propriétés du processus associé.

Intégrale de Wiener Intégrale Stochastique généralisée Cadre de définition Fonctions déterministes L

Bon processus Bon processus locaux

R

0

θ

ds < +∞ E h R

0

θ

ds i

< +∞ R

0

θ

ds < +∞ p.s

Propriétés de (I

(θ))

:

Martingale Martingale locale

Variation quadratique : hI(θ)i

= R

θ

ds Crochets de martingale : hI (θ), I(θ

)i

= R

0

θ

θ

ds

I (θ)

− hI (θ)i

est une martingale idem mais que locale Processus Gaussien, centré,

de fonction de covariance : E [I

(θ)I

(θ)] = R

0

θ

du.

Processus à accroissements indépendants.

On rappel aussi que :

— Si M est une martingale locale telle que E [hM

i] < +∞, ∀t ≥ 0, alors M et M

− hM i sont des (vraies) martingales

— Si M et N sont deux martingales locales telles que E [hM

i] < +∞, E [hN

i] < +∞ et E [hM, Ni

] < +∞, ∀t ≥ 0, alors M N − hM, N i est une (vraie) martingale.

Exercice 1 : Intégrale stochastique bien définie en fonction d’un paramètre.

Soit α ∈ R

. On veut savoir quand l’intégrale stochastique I

=

Z

1 s ∧ 1

|B

|

dB

est bien définie et également quand le processus associé est une martingale.

1

1. Montrer que le processus stochastique |B|

est un bon processus si et seulement si 0 ≤ α <

1/2.

En déduire que si 0 ≤ α < 1/2, alors

1 s

∧

s|

est également un bon processus.

2. Montrer que pour 1/2 ≤ α < 1,

1 s

∧

s|

est un bon processus local.

Indication : on pourra utiliser la comparaison du mouvement brownien avec la fonction t 7→ √ t au voisinage de 0, à savoir que ∀β > 1/2, lim

t→0

B

t

= +∞ p.s et ∀β < 1/2, lim

t→0

B

t

= 0 p.s.

3. Dans quels cas, le processus (I

)

est-il une martingale ? Dans quels cas est-ce une martingale locale ?

Exercice 2 : Variation quadratique de martingales locales indépendantes.

1. Montrer que si M et N sont deux martingales indépendantes, de carré intégrable, adaptées par rapport à la filtration naturelle produit F

= σ (M

, N

, 0 ≤ s ≤ t), alors (M

N

)

est une F

-martingale et hM, N i

= 0 (on dit que M et N sont orthogonales).

2. Montrer que si M et N sont deux martingales locales indépendantes, adaptées par rapport à F

= σ (M

, N

, 0 ≤ s ≤ t), alors (M

N

)

est une martingale locale et hM, N i

= 0.

3. En déduire la variation quadratique de λ

B

+ · · · + λ

B

où B

, · · · , B

sont n mouvement Browniens mutuellement indépendants adaptés par rapport à leur filtration naturelle produit et où λ

, · · · , λ

∈ R .

Exercice 3 : Variation quadratique et intégrales stochastiques.

On note M

= R

0

B

dB

, N

= R

0

e

dB

et V

= R

B

ds.

1. Pour tout t ≥ 0, donnez une expression de hMi

, hNi

, hM, N i

et hM + N, N + V i

. 2. Pour tout t ≥ 0, donnez une expression de E

M

, E

N

et E [M

N

].

3. Écrire X

:= R

0

B

dM

+ R

0

e

dhN i

+ R

0

B

dV

comme processus d’Itô.

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