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(I, R ) des applications continues de I dans R.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B DS commun 2 29 juin 2019

Problème 1

Les deux parties de ce problème sont indépendantes. Dans tout le problème, on désigne par I le segment [0, 1] et par E l'espace vectoriel réel C

0

(I, R ) des applications continues de I dans R.

Préliminaire

Soit a ∈ R, on dénit des fonctions f

a

et g

a

de R dans R par :

∀x ∈ R : f

a

(x) = min(x, a), g

a

(x) = max(x, a) Montrer que f

a

et g

a

sont lipschitziennes sur R et préciser le rapport.

On pourra remarquer que min(u, v) =

12

(u + v − |u − v|) pour tous réels u et v .

Partie I

Soient m

0

et M

0

deux éléments de [−1, +1] , on pose pour tout n ∈ N : m

n+1

= 1

2 Z

1

−1

min(x, M

n

) dx, M

n+1

= 1 2

Z

1

−1

max(x, m

n

) dx,

( x

n

= 1 + m

n

y

n

= 1 − M

n

1. a. Justier l'existence des suites (m

n

)

n∈N

et (M

n

)

n∈N

.

b. Montrer que m

n

et M

n

sont dans [−1, 1] pour tout n ∈ N.

2. a. Montrer que, pour tout n ∈ N, m

n+1

= − 1

4 (M

n

− 1)

2

, M

n+1

= 1

4 (m

n

+ 1)

2

b. Montrer que m

n+1

∈ [−1, 0] et M

n+1

∈ [0, 1] pour tout n ∈ N.

3. a. Montrer que, pour tout n ∈ N,

y

n+1

− x

n+1

= 1

4 (y

n

− x

n

)(y

n

+ x

n

)

b. Montrer que si (x

n

)

n∈N

et (y

n

)

n∈N

convergent, leurs limites sont égales à l = 2 √

2 − 2 c. Montrer que, pour tout n ∈ N,

|x

n+1

− l| ≤ 2 √ 2 − 1

4 |y

n

− l|, |y

n+1

− l| ≤ 2 √ 2 − 1

4 |x

n

− l|

4. Montrer que les suites (m

n

)

n∈N

et (M

n

)

n∈N

convergent et préciser leurs limites.

Partie II

Dans cette partie, g est une application dénie dans I , à valeurs dans I , continue et vériant g(0) = 0 et g(1) = 1 .

1. Soit f un élément de E .

a. Justier l'existence de l'application u

g

(f ) :

( [0, 1] → R a 7→ R

1

0

min(x, g(a))f (x)dx b. Montrer que u

g

(f ) appartient à E .

2. Dans cette question seulement, f (x) = tan

2

x . Calculer u

g

(f)(a) pour a ∈ [0, 1] . 3. Soit f un élément de E .

a. Justier l'existence de l'application v

g

(f) :

( [0, 1] → R a 7→ R

1

0

min(a, g(x))f (x)dx b. Montrer que v

g

(f ) appartient à E .

4. Montrer que u

g

et v

g

sont des endomorphismes de E . 5. a. Montrer que u

g

est injectif.

b. Montrer que si g est dérivable, u

g

n'est pas surjectif.

6. a. En considérant l'application g dénie par : g(x) =

( 0 si x ∈ [0,

12

] 2x − 1 si x ∈ [

12

, 1]

montrer que v

g

n'est en général pas injectif.

b. Montrer que si g est de classe C

1

et strictement croissante alors v

g

est injectif.

Problème 2

Ce problème porte sur la transformée de Legendre d'une fonction.

La transformation de Legendre est un procédé qui à une fonction f dénie sur une partie X de R associe une fonction f

dénie sur une partie X

de R. Il est à noter que f doit vérier certaines propriétés pour que f

soit bien dénie c'est à dire X

non vide.

Les dénitions précises sont données dans la partie Préliminaires qui ne comporte pas de questions. Cette partie introduit aussi des conventions de notation qui pourront être utilisées dans tout le problème.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0708E

(2)

MPSI B DS commun 2 29 juin 2019

Préliminaires.

A chaque couple (m, f ) où f est une fonction à valeurs réelles dénie dans une partie non vide X de R et m un nombre réel ; on associe une fonction h

m

dans X en posant

∀x ∈ X, h

m

(x) = mx − f (x)

On appelle X

l'ensemble des m tels que h

m

soit majorée. Lorsque X

est non vide, on dénit la fonction f

dans X

en posant

∀m ∈ X

, f

(m) = sup

X

h

m

Au couple (X, f) on associe alors le couple (X

, f

) . Pour tout réel u , on note k

u

la fonction associée à (u, f

) comme h

m

l'était à (m, f ) c'est à dire

∀u ∈ R , ∀x ∈ X

k

u

(x) = ux − f

(x)

et on notera (X

◦◦

, f

◦◦

) le couple ((X

)

, (f

)

) . De même, on notera l

p

la fonction associée au couple (p, f

◦◦

) pour un nombre p réel et (X

◦◦◦

, f

◦◦◦

) le couple ((X

◦◦

)

, (f

◦◦

)

) .

Partie I. Exemples. Une inégalité générale.

Pour chacun des exemples suivants, on pourra si nécessaire, s'aider des dérivées et des tableaux de variations des fonctions h

m

et k

u

. On justiera soigneusement tous les résultats.

1. Ici X = R et f(x) = Kx

2

où K est un nombre réel non nul. Déterminer (X

, f

) . Pour quels K a-t-on f = f

?

2. Ici X = [a, b] et f est continue sur [a, b] . Déterminer X

. Montrer que pour tout m dans X

, il existe x

0

dans [a, b] tel que f

(m) = mx

0

− f(x

0

) .

3. Ici X = R et f (x) = e

x

. Déterminer (X

, f

) puis (X

◦◦

, f

◦◦

) . 4. Soit α et β deux réels xés, on considère X = R et la fonction ane

f (x) = αx + β

Déterminer (X

, f

) puis (X

◦◦

, f

◦◦

) .

5. Montrer que ∀x ∈ X, ∀m ∈ X

f (x) + f

(m) ≥ mx .

Partie II. Espaces N et N

0

de fonctions convexes.

Dans cette partie, N désigne l'ensemble des fonctions C

2

de R

+

dans R

+

, telles que f (0) = 0 et f

0

(x) > 0 , f

00

(x) > 0 pour x > 0 .

On notera N

0

la partie de N formée par les fonctions f telles que f

0

(0) = 0 et dont la dérivée diverge vers +∞ en +∞ .

On citera précisément les résultats de cours utilisés. On se propose d'établir, pour une fonction f ∈ N l'équivalence entre les deux propriétés f

0

→ +∞ et

f(x)x

→ +∞ au voisinage de +∞ .

1. Montrer que

f(x)x

→ +∞ entraîne f

0

→ +∞ .

2. Soit x > 0 , en considérant f (2x) − f (x) , montrer que xf

0

(x) ≤ f (2x) . 3. Montrer que f

0

→ +∞ entraîne

f(x)x

→ +∞ .

Partie III. Transformée de Legendre dans N

0

. Dans cette partie f désigne une fonction dans N

0

.

1. Soit m ∈ R

+

, montrer que h

m

(dénie à partir de f comme dans le préliminaire) admet un maximum qu'elle atteint en un unique réel positif x

m

. On notera ϕ la fonction qui à tout m ≥ 0 associe x

m

.

2. a. Montrer que f

0

est une bijection de R

+

dans R

+

.

b. Exprimer ϕ à l'aide de f

0

, en déduire que ϕ est continue strictement croissante avec ϕ(0) = 0 et ϕ → ∞ en +∞ .

3. Montrer que f

est C

2

, préciser les dérivées première et seconde de f

. 4. Montrer que f

∈ N

0

et que f

◦◦

= f

5. a. Soit f et g dans N

0

telles que f ≤ g , montrer que g

≤ f

b. Résoudre l'équation f

= f dans N

0

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S0708E

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