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Partie I : Étude de R

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n 5

À rendre le lundi 5 novembre

Durée : 3 heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite

Partie I : Étude de R

n

=

+∞

X

p=n+1

(−1)

p

p , n ∈ N.

1. (a) Rappeler l’énoncé d’un théorème (y compris l’évaluation du reste) permettant de montrer que la série de terme général (−1)p

p est convergente, oùp∈N, et appliquer au cas de cette série ce théorème.

(b) À l’aide d’une suite géométrique, montrer que :

∀n∈N, Rn= (−1)n+1 Z 1

0

xn 1 +xdx.

2. (a) Par intégration par parties, montrer qu’il existe un entierβ ∈Net un réel kdifférent de0tel que : Rn=k(−1)n+1

nβ +O 1

nβ+1

.

(b) En déduire la nature de la série de terme généralRn. 3. Déterminer la somme

+∞

X

n=0

Rn.

Partie II : Étude de r

n

=

+∞

X

p=n+1

(−1)

p

√ p , n ∈ N.

1. On note, pourn∈N,Un =

n

X

p=1

√1 p. (a) Montrer qu’il existe un réelLtel que :

n→+∞lim

Un− Z n

1

√dx x

=L+ 2.

(b) Soitθun réel strictement supérieur à1. Justifier l’existence de

+∞

X

p=n+1

1

pθ et en trouver un équivalent quand ntend vers l’infini.

2. On pose, pour n∈N, vn=Un−2√ n−L.

(a) Étudier la série de terme généralvn+1−vn et en déduire quevn équivaut à 1 2√

n lorsquentend vers l’infini.

1

(2)

(b) Déterminer un équivalent devn− 1 2√

n lorsquentend vers l’infini ; en déduire queUn est de la forme : Un =A√

n+B+ C

√n+O 1

n√ n

.

3. (a) Montrer qu’il existe un réelS tel que

+∞

X

p=1

(−1)p

√p =S.

(b) Exprimerr2n en fonction deS et des sommes partiellesUn et U2n. (c) En déduire qu’il existe deux réelsaetb que l’on déterminera, tels que :

r2n=a+ b

√n +O 1

n√ n

.

Exprimer S en fonction deLet déterminer la nature de la série de terme général rn.

Partie III : Étude de x

n

=

+∞

X

p=n+1

(−1)

p

f(p) , n ∈ N.

Soitf :R+→Rdécroissante sur]0,+∞[, de limite nulle en+∞, et vérifiant :

∀(x, y)∈]0,+∞[2, f

x+y 2

6f(x) +f(y)

2 .

1. (a) Donner un exemple d’une telle fonctionf. (b) Montrer quexn est défini pour toutn∈N. 2. Montrer que :

∀n∈N, 2xn−(−1)n+1f(n+ 1) =

+∞

X

p=n+1

(−1)p(f(p)−f(p+ 1))

et en déduire que la série X

xn est convergente.

3. On suppose de plus que f(p)est équivalent àf(p+ 1) lorsqueptend vers l’infini. Déterminer un équivalent de xn lorsquentend vers l’infini.

2

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