Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP
Année 2018-2019 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 5
À rendre le lundi 5 novembre
Durée : 3 heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite
Partie I : Étude de R
n=
+∞
X
p=n+1
(−1)
pp , n ∈ N.
1. (a) Rappeler l’énoncé d’un théorème (y compris l’évaluation du reste) permettant de montrer que la série de terme général (−1)p
p est convergente, oùp∈N∗, et appliquer au cas de cette série ce théorème.
(b) À l’aide d’une suite géométrique, montrer que :
∀n∈N, Rn= (−1)n+1 Z 1
0
xn 1 +xdx.
2. (a) Par intégration par parties, montrer qu’il existe un entierβ ∈N∗et un réel kdifférent de0tel que : Rn=k(−1)n+1
nβ +O 1
nβ+1
.
(b) En déduire la nature de la série de terme généralRn. 3. Déterminer la somme
+∞
X
n=0
Rn.
Partie II : Étude de r
n=
+∞
X
p=n+1
(−1)
p√ p , n ∈ N.
1. On note, pourn∈N∗,Un =
n
X
p=1
√1 p. (a) Montrer qu’il existe un réelLtel que :
n→+∞lim
Un− Z n
1
√dx x
=L+ 2.
(b) Soitθun réel strictement supérieur à1. Justifier l’existence de
+∞
X
p=n+1
1
pθ et en trouver un équivalent quand ntend vers l’infini.
2. On pose, pour n∈N∗, vn=Un−2√ n−L.
(a) Étudier la série de terme généralvn+1−vn et en déduire quevn équivaut à 1 2√
n lorsquentend vers l’infini.
1
(b) Déterminer un équivalent devn− 1 2√
n lorsquentend vers l’infini ; en déduire queUn est de la forme : Un =A√
n+B+ C
√n+O 1
n√ n
.
3. (a) Montrer qu’il existe un réelS tel que
+∞
X
p=1
(−1)p
√p =S.
(b) Exprimerr2n en fonction deS et des sommes partiellesUn et U2n. (c) En déduire qu’il existe deux réelsaetb que l’on déterminera, tels que :
r2n=a+ b
√n +O 1
n√ n
.
Exprimer S en fonction deLet déterminer la nature de la série de terme général rn.
Partie III : Étude de x
n=
+∞
X
p=n+1
(−1)
pf(p) , n ∈ N.
Soitf :R+→Rdécroissante sur]0,+∞[, de limite nulle en+∞, et vérifiant :
∀(x, y)∈]0,+∞[2, f
x+y 2
6f(x) +f(y)
2 .
1. (a) Donner un exemple d’une telle fonctionf. (b) Montrer quexn est défini pour toutn∈N. 2. Montrer que :
∀n∈N, 2xn−(−1)n+1f(n+ 1) =
+∞
X
p=n+1
(−1)p(f(p)−f(p+ 1))
et en déduire que la série X
xn est convergente.
3. On suppose de plus que f(p)est équivalent àf(p+ 1) lorsqueptend vers l’infini. Déterminer un équivalent de xn lorsquentend vers l’infini.
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