1 Intégrale stochastique.

(1)

ISFA Vincent Lerouvillois Soutien Processus stochastiques - M1 Actuariat [email protected] Semestre printemps 2018-2019 math.univ-lyon1.fr/homes-www/lerouvillois/

Séance n

^o

3 L’intégrale stochastique et début de la Formule d’Itô

1 Intégrale stochastique.

Exercice 1 : Un calcul explicite

Le but de cet exercice est de calculer l’intégrale stochastique

R_t

0

B

s

dB

s

, en utilisant la construction vue en cours par approximation par des processus étagés.

1. Montrer que le mouvement Brownien (B

t

)

t∈R+

est un

bon processus.

2. On définit le processus étagé suivant :

B

_tⁿ

=

n−1

X

k=0

B

tk1_[t_k_,t_k+1_[

(t) ,

avec t

k

:=

^kt_n

. Montrer que B

^{n L}

2([0,t])

n→∞−→

B c’est à dire que :

E hRt

0

(B

_sⁿ−

B

s

)

²

ds

i

n→∞−→

0 . 3. Calculer

Rt

0

B

_sⁿ

dB

_s

. On pourra exprimer le résultat comme fonction du mouvement Brownien.

4. Montrer enfin que

Z t

0

B

s

dB

s

= 1

2 B

_t²−

1 2 t .

Remarque : On s’assure queBt_k est bien mesurable par rapport à la tribu indexée par la borne gauche de l’intervalle[t_k, t_k+1[à savoirF_t_k. Si, par exemple, on remplaçaitB_t_k parB_t_k+1 qui n’est pasF_t_k-mesurable maisFt_k+1-mesurable, on obtiendrait un résultat différent (Exercice : le vérifier).

Exercice 2 : Intégrale de Wiener

1. Justifier que la variable aléatoire X

t

=

Rt

0

(sin s) dB

s

est bien définie comme intégrale de Wiener.

2. Justifier que X est un processus gaussien. Calculer son espérance et sa covariance E(X

_s

X

_t

).

3. Montrer que le processus X est une martingale.

4. Quelle est la variation quadratique de X ?

1

(2)

2 Début de la Formule d’Itô

Exercice 3 : Retour sur

Rt

0

B

s

dB

s

.

En appliquant la formule d’Itô à B

_t²

, (re)montrez que

Rt

0

B

_s

dB

_s

=

¹₂

B

_t²−

t . Exercice 4 : Processus d’Itô et martingale.

1. Écrire le processus sin(B

_t

)e

^−t

t≥0

comme processus d’Itô.

2. Montrer que le processus B

³_t −

3tB

_t

t≥0

est une martingale.

3 Tableau bilan sur l’intégrale stochastique et ses propriétés.

Le tableau suivant résume le cadre de définition de l’intégrale stochastique I

t

(θ) :=

Rt

0

θ

s

dB

s

ainsi que les propriétés du processus associé.

Intégrale de Wiener Intégrale Stochastique généralisée Cadre de définition Fonctions déterministes L

²

Bon processus Bon processus locaux

Rt

0

θ

_s²

ds < +∞

E hRt

0

θ

²_s

ds

i

< +∞

Rt

0

θ

_s²

ds < +∞ p.s

Propriétés de (I

_t

(θ))

t∈R+

:

Martingale Martingale locale

Variation quadratique :

hI(θ)i_t

=

R_t

0

θ

_s²

ds Crochets de martingale :

hI

(θ), I(θ

⁰

)i

_t

=

Rt

0

θ

s

θ

⁰_s

ds

I (θ)

²_t − hI

(θ)i

_t

est une martingale idem mais que locale Processus Gaussien, centré,

de fonction de covariance :

E

[I

_t

(θ)I

_s

(θ)] =

Rs∧t

0

θ

_u²