1 Mouvement brownien 1.1 Bridge

Magist` ere d’´ economiste statisticien 2006–2007-Seconde ann´ ee

Feuille d’exercice 5

Mouvement brownien et Processus de Poisson

1 Mouvement brownien

1.1 Bridge

Soit (B t ; t ≥ 0) un processus gaussien centr´ e de covariance Γ(s, t) = s ∧ t; s, t ∈ [0, +∞[.

Montrer que X t = B t − tB 1 ; t ∈ [0, 1], est un processus gaussien centr´ e. Calculer sa covariance. Monter de plus que (X t ; 0 ≤ t ≤ 1) est ind´ ependant de B 1 .

1.2 Diff´ erentielle

Soit I un espace topologique, Γ une fonction de covariance d´ efinie sur I, et (X _t ; t ∈ I) un processus du second ordre de covariance Γ.

1) Montrer que si l’application I → L ² (Ω), qui ` a t ∈ I associe X t est continue, alors Γ est une fonction continue. Montrer que la r´ eciproque est vraie si on suppose de plus que le processus est centr´ e.

2) D´ esormais I = [0, +∞[, (X t ; t ∈ I) d´ esigne un processus centr´ e du second ordre, de covariance Γ et Γ est une fonction continue. On suppose que (X t ; t ∈ I) est ”diff´ erentiable” : il existe un processus du second ordre (X _t ⁰ ; t ∈ I) tel que X (t + h) − X(t)

h converge vers X ⁰ (t), dans L ² (Ω), lorsque h → 0, pour tout r´ eel positif t.

a) Montrer que Γ est d´ erivable et ∂Γ

∂t (s, t) = E[X _s X _t ⁰ ]; s, t ≥ 0.

b) En d´ eduire : ∂ ² Γ

∂t∂s (s, t) = E[X _s ⁰ X _t ⁰ ]; s, t ≥ 0.

c) On suppose que (X _t ; t ∈ I) est un processus gaussien et est continu, en d´ eduire que (X _t ⁰ ; t ∈ I) est

´

egalement un processus gaussien.

1.3 Brownian is strong

Montrer que le mouvement brownien (B t ; t ≥ 0) v´ erifie la loi forte des grands nombres : lim

t→+∞

B t

t = 0

1.4 Prix litt´ eraires

Soit (B _t ; t ≥ 0) un mouvement brownien issu de 0 et λ > 0. On pose : X _t = e ^−λt B(e ^2λt ); t ≥ 0.

1) Montrer que (X t ; t ≥ 0) est un processus gaussien centr´ e et continu. Calculer sa covariance.

(X t ; t ≥ 0) est appel´ e le processus d’Ornstein Ulhenbeck de param` etre λ.

2) a) V´ erifier que pour tous t > 0, h > 0, les deux v.a. (X 0 , X t ) et (X h , X t+h ) ont mˆ eme loi.

b) Montrer plus g´ en´ eralement que (X t ; t ≥ 0) est un processus stationnaire : pour tous 0 < t 1 < t 2 < ... <

t n , h > 0 le vecteur al´ eatoire (X t

, X t

, ..., X t

) a mˆ eme distribution que (X t

+h , X t

+h , ..., X t

+h ).

3) Soit λ > 0 un param` etre r´ eel fix´ e. On admet l’existence d’un processus gaussien (Y t ) t≥0 solution de l’´ equation diff´ erentielle :

Y _t = Y ₀ + B _t − λ Z t

0

Y _s ds; ∀t ≥ 0,

o` u Y 0 est une v.a.r. gaussienne de loi r´ eduite et centr´ ee et ind´ ependante du mouvement brownien directeur (B t ) t≥0

a) Montrer que (Y t ) t≥0 est un processus continu, est-il d´ erivable ? b) Calculer E[Y _t ].

c) Soient s ≥ 0 et ϕ la fonction d´ efinie sur [0, s] par la formule ϕ(t) = E[Y _t B _s ]. Montrer que ϕ v´ erifie une

´

equation diff´ erentielle lin´ eaire, calculer ϕ(t), 0 ≤ t ≤ s.

D’une mani` ere analogue ´ evaluer E[Y _t B _s ] pour tous s, t ≥ 0.

d) On suppose λ = 1/2. Montrer que (Y _t ) _t≥0 a mˆ eme loi qu’un processus d’Ornstein Ulhenbeck de param` etre

1/2.

2 Processus de Poisson

1) Soit (N t ) un processus ponctuel de Poisson d’intensit´ e θ (θ > 0). Quelle est la loi conditionnelle de N s sachant N t (0 < s < t), puis plus g´ en´ eralement de N s

, N s

− N s

, . . . , N s

− N s

sachant N t

(0 < s ₁ < s ₂ < . . . < s _n < t).

2) Paradoxe de l’autobus

Soit un processus de Poisson (N _t ) de param` etre λ > 0. On appelle S <sub>n</sub> (n > 1) l’instant du n-i` eme saut du processus et on pose S ₀ = 0. On pose ensuite :

Z t = t − S N

et W t = S N

+1 − t.

a) Calculer la loi du couple (Z t , W t ). Montrer que Z t et W t sont ind´ ependantes, et que W t suit une loi exponentielle de param` etre λ.

b) Donner la loi de Z t , et v´ erifier que Z t a la mˆ eme loi que min(S 1 , t). Montrer que la fonction de r´ epartition de Z t tend vers la fonction de r´ epartition de S 1 quand t → ∞.

c) Calculer E(Z t + W t ). Trouver sa limite quand t tend vers +∞. Que pensez-vous de ce r´ esultat ? d) On consid` ere les arriv´ ees successives d’un autobus ` a un arrˆ et donn´ e comme d´ efinissant un processus de

Poisson de param` etre λ > 0. Un passager potentiel arrive ` a l’arrˆ et ` a l’instant t. Quelle est l’esp´ erance A de son temps d’attente ?

3) Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes de mˆ eme loi µ. Soit τ une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N , ind´ ependante de la suite (X _n ). Pour un bor´ elien de R , B, tel que 0 < µ(B) < 1 on d´ efinit la variable al´ eatoire

N (B) = P τ

i=1 1 _B (X _i ) si τ ≥ 1 et N (B) = 0 sinon.

a) Calculer la loi de probabilit´ e de N (B) et la loi du couple (N (B), N (B ^c )).

b) Montrer que τ suit une loi de Poisson si, et seulement si, pour tout borelien B, N(B) et N (B ^c ) sont

ind´ ependantes. D´ eterminer la loi de N(B) dans ce cas.