Exercice 1. On consid` ere la fonction

UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2014/2015

Licence Informatique L1 Analyse

Feuille d’exercices 9

Exercice 1. On consid` ere la fonction

f : R ^>0 → R , x 7→ ln(x) x .

a) ´ Ecrire les parties principales T ₁ (resp. T ₂ ) du d´ eveloppement de Taylor d’ordre 1 (resp. 2) en x 0 = 1.

b) Dessiner le graphe de T 1 et T 2 sur l’intervalle [0, 2].

Exercice 2.

a) Donner le DL ` a l’ordre 3 de la fonction f : R → R , x 7→ e ^x en x 0 = 0. En d´ eduire celui de g : R → R , x 7→ e ^−x en x 0 = 0.

b) Donner le DL ` a l’ordre 2 de la fonction h : R → R , x 7→ cos(x) en x 0 = 0.

c) On consid` ere la fonction

ϕ : R ^∗ → R , x 7→ e ^x − e ^−x − 2x cos(x)

x ³ .

En utilisant les questions pr´ ec´ edentes montrer que ϕ admet une limite en x 0 = 0.

Exercice 3.

a) Soit α ∈ R un param` etre. Donner le DL ` a l’ordre 1 de f :] −1, 1[→ R , x 7→ (1 + x) ^α en x 0 = 0.

b) Donner le DL ` a l’ordre 2 de f : R ⁺ → R , x 7→ x ^1/3 en x ₀ = 8.

c) Donner le DL ` a l’ordre 3 de f : R ^>0 → R , x 7→ ln(x) en x 0 = e Exercice 4.

a) Montrer que le DL ` a l’ordre 2 de ϕ :] −1, ∞[→ R , u 7→ ln(1 + u) en u 0 = 0 est u − ^u ₂

+ o(u ² ).

b) On consid` ere les fonctions

f :]1, ∞[→ R , x 7→ (x ² − 1) ln(1 + 2 x − 1 )

et g : R → R , x 7→ 2x. Montrer que f ^x→∞ ∼ g, c’est-` a-dire g est l’asymptote ` a l’infini de f . Exercice 5.

a) Montrer que le DL ` a l’ordre 1 de f :] − 1, ∞[→ R , u 7→ √

1 + u en u ₀ = 0 est 1 + ^u ₂ + o(u).

1

b) Montrer que le DL ` a l’ordre 1 de

g :]5, ∞[→ R , x 7→

r 1 − 3

x + 5 x ² − 1

`

a l’infini est

− 3

2x + o( 1 x ² ).

c) Montrer que

x→∞ lim

p x ² − 3x + 5 − x

= − 3 2 .

Exercice 6. Soit n ≥ 2 un entier. Soit f :] −1, 1[→ R une fonction de classe C ⁿ et f ⁰ :]−1, 1[→ R sa fonction d´ eriv´ ee. On note DL _n (f ) la partie principale du d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre n de f en x <sub>0</sub> = 0 et DL <sub>n−1</sub> (f <sup>0</sup> ) la partie principale du d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre n − 1 de f en x ₀ = 0 . Montrer que

(DL n (f )) ⁰ = DL _n−1 (f ⁰ ).

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