On consid` ere la fonction f : x → 1

2008-2009 http ://www.cnam.fr/depts/maths CNAM - Paris

CSC012

Devoir 3 pour le 5 Janvier 2009

Exercice 1

On consid` ere la fonction f : x → 1

1 + x ² qu’on va interpoler de trois fa¸ cons diff´ erentes ` a partir des points A(−1, 0.5), B(0, 1), C(1, 0.5).

1. Intepolation par les polynˆ omes de Lagrange

Ecrire le polynˆ ´ one d’interpolation de Lagrange entre ces trois points.

Comparer f(0.5) et P(0.5)

2. Intepolation par les polynˆ omes de Newton :

On pose P (x) = α ₀ + α ₁ (x − x ₀ ) + α ₂ (x − x ₀ )(x − x ₁ ) Calculer α ₀ , α ₁ , α ₂ sachant que

P(x 0 ) = f (x 0 ), P (x 1 ) = f (x 1 ), P (x 2 ) = f (x 2 ) Comparer f (0.5) et P (0.5)

3. Interpolation par les courbes de B´ ezier :

Un point M de la courbe a comme coordonn´ ees x(t) et y(t) donn´ es par : x(t) = (1 − t) ² x ₀ + 2t(1 − t)x ₁ + t ² x ₂

y(t) = (1 − t) ² y 0 + 2t(1 − t)y 1 + t ² y 2

On veut avoir x(t) = 0.5.

Calculer la valeur correspondante de t puis la valeur de y(t)

Exercice 2

1. On consid` ere une fonction y = f (x) donn´ ee par ses valeurs num´ eriques ` a partir du tableau :

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 1 6 15 20 15 6 1

On se propose d’approcher la fonction f par une fonction g de la forme y = g(x) = αe ^−βx

Exprimer z = ln(g(x)) en fonction de x.

2. D´ eterminerles coefficients a 0 , a 1 , a 2 de la parabole des moindres carr´ es z = a 0 + a 1 x + a 2 x ² correspondant aux couples (x i , z i ).

3. En d´ eduire les valeurs correspondantes de α et β.

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