Exercice 3 On consid`ere la fonction d´efinie par : ∀x∈π 2, π , f(x

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

D´erivabilit´e

TD14

D´erivabilit´e

Exercice 1

Soit I un intervalle ouvert de R. Soient f et g :I → R d´erivables en a ∈I. D´eterminer les limites suivantes:

x→0lim

f(a+x)−f(a−x)

2x ; lim

x→a

f(x)g(a)−f(a)g(x)

x−a ; lim

h→0

f(a+h²)−f(a+h)

h .

Exercice 2

Etudier la d´´ erivabilit´e en 0 des fonctions suivantes:

a) fn:R⁺→R, x7→√

xⁿ⁺¹+xⁿ, o`u n∈N^∗ ;

b) g:x7→

xsin¹_x si x6= 0

0 si x= 0 ;

c) h:x7→

x²sin¹_x si x6= 0

0 si x= 0 ;

d) u:x7→

_x

ln|x|cos¹_x six6= 0

0 six= 0 .

Exercice 3

On consid`ere la fonction d´efinie par : ∀x∈_π

2, π

, f(x) = _sin(x)¹ .

a) Montrer que f r´ealise une bijection vers un intervalle que l’on pr´ecisera.

b) Sans d´eterminerf⁻¹, montrer quef⁻¹ est d´erivable sur un intervalle que l’on pr´ecisera et calculer (f⁻¹)⁰.

Exercice 4

Soit f une fonction d´erivable sur R.

a) Montrer que f est paire si et seulement si f⁰ est impaire.

b) Montrer que sif est impaire,f⁰ est paire. Que dire de la r´eciproque ?

c) Montrer que sif est p´eriodique, f⁰ est p´eriodique. Que dire de la r´eciproque ?

D´eriv´ees successives, fonctions de classe Cⁿ

Exercice 5

Soit n >2, calculer la d´eriv´een^i`eme de ϕ: R → R

x 7→ (x²+ 1)e^3x . Exercice 6

D´eterminer, pour toutn∈N, la d´eriv´een^i`eme de :

1

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

a) f1:x7→cos³x ; b) f2 :x7→e^xsinx ; c) f3 :x7→(x³+x²+ 1)e^−x.

Exercice 7

On consid`ere la fonction f d´efinie par f(x) = 1

√

1 +x².

a) Montrer que f est de classe C^∞ sur R et admet une d´eriv´ee d’ordre n de la forme f⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x)

(1 +x²)ⁿ⁺¹² o`uPn est un polynˆome.

b) Montrer que, pour tout entier n∈N, on a la relation de r´ecurrence : P_n+1 = (1 +X²)P_n⁰ −(2n+ 1)P_n.

c) Chercher une ´equation diff´erentielle simple liantf etf⁰. En appliquant alors la formule de Leibniz, montrer que :

∀n≥1, Pn+1+ (2n+ 1)XPn+n²(1 +X²)Pn−1= 0 puis P_n⁰ =−n²Pn−1. d) CalculerP_n(0) pour tout n∈N.

2 Propri´et´es des fonctions d´erivables

Exercice 8

Soita∈Retf une fonction continue sur [a,+∞[ et d´erivable sur ]a,+∞[ telle que lim

x→+∞f(x) =f(a).

On pose :

g:

[0,1] → R x 7→

f ¹_x +a−1

six6= 0

f(a) six= 0.

a) Montrer que g est continue sur [0,1] et d´erivable sur ]0,1[.

b) En d´eduire qu’il existec∈]a,+∞[ tel quef⁰(c) = 0.

c) Proposer une autre preuve de l’existence d’un tel csans passer par la fonction auxiliaire g.

Exercice 9

Soit P une fonction polynomiale `a coefficients dans R. Montrer que l’´equation P(x) =e^x n’a qu’un nombre fini de solutions.

Exercice 10

Soient a, b, λ∈Rtels que 0< a < b, soitf une fonction continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[ telle quef(a) =f(b) = 0. Montrer que∃c∈]a, b[, f⁰(c) =−λ^f(c)_c .

Exercice 11

Soit f : [a, b]→R d´erivable telle quef(a) =f(b) = 0 (0< a < b). Montrer qu’il existe un point de la courbe repr´esentative de f o`u la tangente passe par l’origine.

2

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis Exercice 12 (R`egle de l’Hˆopital)

Soient f etg: [a, b]→R, d´erivables sur ]a, b[ telles que ∀x∈]a, b[,g⁰(x)6= 0.

a) Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f⁰(c)

g⁰(c). On commencera par justifier que le membre de gauche est bien d´efini et on pourra consid´erer f−λg,λ∈R bien choisi.

b) En d´eduire que si f⁰(x)

g⁰(x) →lquand x→a⁺, f(x)−f(a) g(x)−g(a) aussi.

c) Application. Calculer les limites suivantes :

x→0lim

x−sinx

x³ ; lim

x→0

ln(1 +x)−x

x² .

Exercice 13

Soit f : [a, b]→Rune fonction de classeC² telle quef(a) =f(b) = 0. On poseM = sup

x∈[a,b]

|f⁰⁰(x)|.

a) `A quel type de fonctionf correspond le casM = 0 ? On suppose dans la suite que M >0.

b) Montrer que pour toutx∈[a, b], il existecx ∈]a, b[ tel que : f(x) = (x−a)(x−b)

2 f⁰⁰(cx).

(On pourra introduire la fonctiong(t) =f(t)− A

2(t−a)(t−b) avec A tel queg(x) = 0.) c) En d´eduire que : ∀x∈[a, b], |f(x)| ≤ ^M₂ (x−a)(x−b), puis que : |f⁰(a)| ≤ M

2 (b−a).

Exercice 14

Soit f : [0,+∞[→ R une fonction d´erivable. Montrer que si f⁰ a une limite finie l en +∞, alors f(x)

x →l quandx→+∞. (On pourra commencer par se ramener au casl= 0)

Exercice 15

On consid`ere la fonction f :







R → R

x 7→ e^x si x <0

x 7→ ax²+bx+csinon.

Peut-on d´eterminera, b, c pour quef soit de classeC²,C³ ?

Exercice 16

R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes sur R:

a) x(x−1)y⁰+ (2x−1)y= 1, b) xy⁰−2y= (x−1)(x+ 1)³ .

Exercice 17 On consid`eref :

R → R x 7→

(e^−1/x2 si x >0 0 si x≤0

.

a) Montrer que f est continue et d´erivable en 0.

3

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

b) Justifier quef est de classeC^∞surR^∗₊et que ∀n∈N,∃P_n∈R[X] ,∀t∈R^∗₊,f⁽ⁿ⁾(t) =Pn(¹_t)e^−t12. c) En d´eduire quef est de classeC^∞ surR.

Exercice 18

A l’aide des accroissements finis, majorer l’erreur commise dans les approximations suivantes :`

√

10001≈100 ; 1

0,999² ≈1 ; cos 1≈ 1 2. Exercice 19

a) Montrer que ∀x∈R^∗+, _x+1¹ ≤ln^x+1_x ≤ ¹_x. b) En d´eduire que : ∀x∈R^+∗, ^1+x_x x

≤e≤ ^1+x_x x+1

. c) Montrer que : ∀n∈N^∗, ⁽ⁿ⁺¹⁾_n! ⁿ ≤eⁿ≤ ⁽ⁿ⁺¹⁾_n!ⁿ⁺¹.

Exercice 20

Montrer les in´egalit´es suivantes :

a) ∀x∈]−1,+∞[, _1+x^x ≤ln(1 +x)≤x ; b) ∀(x, y)∈[0,1[²,x < y, ^√y−x

1−x² <arcsiny−arcsinx < √^y−x

1−y².

Suites du type u_n+1 = f(u_n)

Exercice 21

a) On d´efinit la suite (u_n) par : u₀ ∈R,∀n∈N, u_n+1= 2 +¹₂sinu_n. ´Etudier la convergence de (u_n).

b) On d´efinit la suite (un) par : u0∈R,∀n∈N, un+1 = cosun. ´Etudier la convergence de (un).

Exercice 22

On d´efinit la suite (u_n) par: u₀ = 1 et∀n∈N,u_n+1=e^−un. a) Montrer que : ∀n∈N, un∈[¹_e,1].

b) Montrer que (u_n) converge. On note lsa limite.

c) Comment obtenir une valeur approch´ee de l `a 10<sup>−3</sup> pr`es ?

Exercice 23

Soit (u_n)n∈N la suite d´efinie par r´ecurrence paru₀ >0 et ∀n∈N, u_n+1 = 1 + 1 2sin

1 u_n

. On pose doncf :x7→1 +1

2sin 1

x

pour x∈R^∗.

a) Montrer que f(x)>0 pour toutx >0, en d´eduire que la suite (u_n)n∈N est bien d´efinie.

b) Montrer que pour toutn≥2,u_n∈[1,³₂].

c) Montrer quef admet un unique point fixe sur [1,³₂].

d) Montrer que f est ¹₂-lipschitzienne sur [1,³₂] et d´eterminer la nature de la suite (u_n)n∈N.

4