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Exercice #1. Soit f : R → R la fonction 2 π -périodique définie par f (x) = x, ∀ − π ≤ x < π . À partir du calcul des coefficients de Fourier de f , calculer la somme

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Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3 e année

Mesure et intégration Année 2019-2020

Auto-contrôle #4 –le 2 décembre 2019–

–durée 45 minutes–

Exercice #1. Soit f : R → R la fonction 2 π -périodique définie par f (x) = x, ∀ − π ≤ x < π . À partir du calcul des coefficients de Fourier de f , calculer la somme

X

k≥0

1

(4k + 1)(4k + 3) .

Exercice #2. Soit f (x) =

Z

0

e −t t −n/2 e −|x|

2

/t dt, ∀ x ∈ R n . 1. Montrer que f est borélienne.

2. Montrer que f est Lebesgue intégrable.

3. Calculer f b .

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