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1. Soit f la fonction dfinie sur R par : f (x) =

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

AP3 bis : Fonction continue - Thorme des valeurs intermdiaires

Exercice 1 :

1. Soit f la fonction dfinie sur R par : f (x) =

{ x

2

− 2x + 1 pour x ⩽ − 1 3 − x pour x > − 1 f est-elle continue sur R ?

2. On considre la fonction g dfinie sur R par : g(x) =

{ 2x − 5 pour x < 1

x

2

− k pour x ⩾ 1 o k est un rel.

Dterminer la valeur de k pour que g soit continue sur R .

Exercice 2 :

Soit f la fonction dfinie sur [0; 2] par f (x) = 2x

3

+ x − 10 1. Dresser le tableau de variation complet de f .

2. Justifier que l’quation f (x) = 0 admet une unique solution sur [0; 2]. Citer le thorme utilis.

3. Donner un encadrement 10

−2

prs de cette solution.

Exercice 3 :

Soit f la fonction dfinie sur R par f (x) = x

2

− 4x − 2 x

2

+ 1 . 1. Dresser le tableau de variation de f .

2. Dmontrer que l’quation f (x) = − 1 admet deux solutions sur R . 3. Donner une valeur approche 10

−1

de chacune des solutions.

Exercice 4 :

1. Dmontrer que l’quation x √

x = 2 − 2x admet une unique solution α sur [0; + ∞ [.

2. Dterminer un encadrement de α d’amplitude 10

−3

.

Exercice 5 :

Soit g la fonction dfinie sur [0; 2] par : g(x) =

{ − 2x + 3 si 0 ⩽ x ⩽ 1 2x − 3 si 1 < x ⩽ 2 1. Tracer la courbe reprsentative de g.

2. Les conditions du T V I sont-elles remplies ?

3. Rsoudre l’quation g(x) = 0 sur [0; 2]. Que remarque-t-on ?

4. Les conditions du T V I sont-elles ncessaires ou suffisantes pour l’existence et l’unicit de la solution d’une quation du type g(x) = 0 ?

Plan de travail

Fait Fait avec Fait avec

Thme Exercice Niveau sans l’aide l’aide

aide d’un lve du professeur

Continuit d’une fonction Exercice 1 * tude de fonction et rsolution d’quation Exercice 2 * tude de fonction et rsolution d’quation Exercice 3 **

Rsolution d’une quation Exercice 4 ***

TVI : condition ncessaire ou suffisante Exercice 5 **

1

(2)

AP3 bis : Fonction continue - Thorme des valeurs intermdiaires

Exercice 6 :

On considre 10 fonctions drivables sur leur ensemble de drivabilit (qu’on ne demande pas de dterminer) dont on fournit une expression algbrique.

Donner l’expression algbriques simplifies des fonctions drives.

1. a(x) = 7x

3

− 3x

2

+ 5 2. b(x) = 1

5 − 2x 3. c(x) = (3x − 5) (

x

2

+ 7x − 1 ) 4. d(x) = 5x − 2

3x + 4 5. e(x) = (x + 1) √

x 6. f (x) = 3x

2

+ 2x + 1

2x − 4 7. g(x) =

√ x x + 1 8. h(x) = (

− 5x

2

+ 1 )

2

9. i(x) = 1

4 x

2

+ 4x + 3 10. j(x) = − 2

3x + 4

2

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