Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

(1)

AP - 4 - Limites et continuité - TS

Exercice 1

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ − 2 +∞

− 5

− 8

5 5

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R.

Exercice 2

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ −2 4 +∞

−1

2 2

−3

−1

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R . Exercice 3

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ − 3 5 +∞

−∞

1 1

− 3

+∞

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 1 sur R . Exercice 4

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x ³ − x ² + x + 2.

1. Déterminer le tableau de variations complet de la fonction f .

2. Montrer que l’équation f (x) = 0 ne possède qu’une unique solution notée α .

3. Fournir un encadrement au centième de α .

(2)

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x ³ 3 − x ²

2 − x + 3.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞.

2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 n’admet aucune solution sur l’intervalle

· − 1 2 ; +∞

· . 4. En déduire que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R .

5. Fournir un encadrement au centième de α .

Exercice 6 : Fonctions composées

Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim

x→+∞

p x ² − 3x

2. lim

x→−1

⁺

r 1 − x 1 + x 3. lim

x→−∞ x r

1 + 1 x ²

Exercice 7 : Formes indéterminées

Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim

x →+∞

p x ² + 1 − p x ² − 1 2. lim

x→+∞

p x ² + 4x − x

3. lim

x →− 2

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 4. lim

x→3

p 3x − 3 x − 3

Exercice 8 : Problème de synthèse

On considère la fonction f définie sur [0; +∞ [ par f (x) = 9x + (15 − 2x) p

x et la fonction g définie également sur [0; +∞ [ par g (x) = 18 p

x − 6x + 15.

1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g .

2. Démontrer, sans la résoudre, que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution sur [0; +∞ [ que l’on notera α.

3. Fournir un encadrement au centième de α.

4. En déduire le signe de g (x) pour tout x ∈ [0;+∞[.

5. Démontrer que, pour tout x ∈]0;+∞[ on a f ⁰ (x) = g (x)

p x .

6. En déduire le tableau de variations complet de f .

(3)

Résultats ou indices

Ex. 1 1.

Ex. 2 2.

Ex. 3 2.

Ex. 4

1. Dérivée : f ⁰ (x) = x ² − 2x + 1. à factoriser.

2. V.I.

3. Dichotomie ou autre...

Ex. 5 1. lim

x →−∞ f (x) = −∞ et lim

x →+∞ f (x) = +∞

2. dériver.

3. minimum 4. V.I.

5. Dichotomie ou autre...

Ex. 6 1. lim

x→+∞

p x ² − 3x = +∞

2. lim

x →− 1

⁺

r 1 − x 1 + x = +∞

3. lim

x→−∞ x r

1 + 1

x ² = −∞

Ex. 7 1. lim

x →+∞

p x ² + 1 − p

x ² − 1 = 0 2. lim

x →+∞

p x ² + 4x − x = 2

3. lim

x→−2

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 = − 3

4 4. lim

x→3

p 3x − 3 x − 3 = 1

2 Ex 8.

1. Dériver.

2. V.I.

3. Dichotomie ou autre...

4. Synthèse des résultats précédents 5. Dériver

6. Synthèse des résultats précédents

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

AP - 4 - Limites et continuité - TS

Exercice 1

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ − 2 +∞

− 5

− 5

− 8

− 8

5 5

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R.

Exercice 2

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ −2 4 +∞

−1

−1

2 2

−3

−3

−1

−1

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R . Exercice 3

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ − 3 5 +∞

−∞

−∞

1 1

− 3

− 3

+∞

+∞

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 1 sur R . Exercice 4

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − x 2 + x + 2.

1. Déterminer le tableau de variations complet de la fonction f .

2. Montrer que l’équation f (x) = 0 ne possède qu’une unique solution notée α .

3. Fournir un encadrement au centième de α .

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x 3 3 − x 2

2 − x + 3.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞.

2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 n’admet aucune solution sur l’intervalle

·

− 1 2 ; +∞

· . 4. En déduire que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R .

5. Fournir un encadrement au centième de α .

Exercice 6 : Fonctions composées

Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim

x→+∞

p x 2 − 3x

2. lim

x→−1

r 1 − x 1 + x 3. lim

x→−∞ x r

1 + 1 x 2

Exercice 7 : Formes indéterminées

Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim

x →+∞

p x 2 + 1 − p x 2 − 1 2. lim

x→+∞

p x 2 + 4x − x

3. lim

x →− 2

x 3 + 2x 2 − x − 2 x 2 − 4 4. lim

x→3

p 3x − 3 x − 3

Exercice 8 : Problème de synthèse

On considère la fonction f définie sur [0; +∞ [ par f (x) = 9x + (15 − 2x) p

x et la fonction g définie également sur [0; +∞ [ par g (x) = 18 p

x − 6x + 15.

1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g .

2. Démontrer, sans la résoudre, que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution sur [0; +∞ [ que l’on notera α.

3. Fournir un encadrement au centième de α.

4. En déduire le signe de g (x) pour tout x ∈ [0;+∞[.

5. Démontrer que, pour tout x ∈]0;+∞[ on a f 0 (x) = g (x)

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x ³ − x ² + x + 2.

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x ³ 3 − x ²

p x ² − 3x

1 + 1 x ²

p x ² + 1 − p x ² − 1 2. lim

p x ² + 4x − x

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 4. lim

5. Démontrer que, pour tout x ∈]0;+∞[ on a f ⁰ (x) = g (x)

1. Dérivée : f ⁰ (x) = x ² − 2x + 1. à factoriser.

p x ² − 3x = +∞

x ² = −∞

p x ² + 1 − p

x ² − 1 = 0 2. lim

p x ² + 4x − x = 2

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 = − 3