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Soit f la fonction d´efinie par f(x

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Academic year: 2022

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Printemps 2020

Feuille d’exercices-Semaine 9- Analyse 3 (SMIA)

Exercice 1. Calculer les limites suivantes 1. lim

x→0

sin (x−sin(x))

√1 +x3−1 2. lim

x→0(ex−x)1/x2 3. lim

x→1

xx−x ln 1 +√

x2−1

Exercice 2. Etudier la limite en 0 de la fonction d´efinie par

1. f(x) = xcosx−sinx

ex−e−x−2x 2. g(x) =

lnx−ln (1 +x) lnx

x1

Exercice 3 (Examen 2017). Soit f la fonction d´efinie par f(x) = x2

ex−1−x, x6= 0

(1) Donner le d´eveloppement limit´e de f d’ordre 2 au voisinage de 0.

(2) D´eduire

(a) l’´equation de la tangente au graphe G de f au point d’abscisse 0,

(b) la position de G par rapport `a cette tangente au voisinage du point (0,2).

Exercice 4. Soit f la fonction d´efinie par :

f(x) = 1 ex+ 1.

(1) Donner un d´eveloppement limit´e de f `a l’ordre 3 en 0.

(2) En d´eduire que la courbe repr´esentative de f admet une tangente au point 0.

(3) Que peut-on dire `a propos de ce point?

Exercice 5. Soit f la fonction d´efinie sur R par

f(x) = ln(x2+x+ 2).

(1) Donner l’´equation de la tangente `a la courbe au point 0.

(2) D´eterminer la position de la courbe par rapport `a cette tangente.

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