Printemps 2020
Feuille d’exercices-Semaine 9- Analyse 3 (SMIA)
Exercice 1. Calculer les limites suivantes 1. lim
x→0
sin (x−sin(x))
√1 +x3−1 2. lim
x→0(ex−x)1/x2 3. lim
x→1
xx−x ln 1 +√
x2−1
Exercice 2. Etudier la limite en 0 de la fonction d´efinie par
1. f(x) = xcosx−sinx
ex−e−x−2x 2. g(x) =
lnx−ln (1 +x) lnx
x1
Exercice 3 (Examen 2017). Soit f la fonction d´efinie par f(x) = x2
ex−1−x, x6= 0
(1) Donner le d´eveloppement limit´e de f d’ordre 2 au voisinage de 0.
(2) D´eduire
(a) l’´equation de la tangente au graphe G de f au point d’abscisse 0,
(b) la position de G par rapport `a cette tangente au voisinage du point (0,2).
Exercice 4. Soit f la fonction d´efinie par :
f(x) = 1 ex+ 1.
(1) Donner un d´eveloppement limit´e de f `a l’ordre 3 en 0.
(2) En d´eduire que la courbe repr´esentative de f admet une tangente au point 0.
(3) Que peut-on dire `a propos de ce point?
Exercice 5. Soit f la fonction d´efinie sur R par
f(x) = ln(x2+x+ 2).
(1) Donner l’´equation de la tangente `a la courbe au point 0.
(2) D´eterminer la position de la courbe par rapport `a cette tangente.