Universit´e Ren´e Descartes - Paris 5 UFR de Math´ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P`eres 75270 Paris Cedex 06
Licence 1`ere ann´ee, 2012-2013,Math´ematiques et Calcul 1 (MC1)
Feuille de TD n◦5 : Fonctions usuelles
Exercice 1 Ecrire sous forme d’expression alg´´ ebrique
1) sin(Arccosx), 2) cos(Arcsinx), 3) sin(3 Arctanx), 4) cos(Arctanx), 5) tan(Arcsinx).
Exercice 2 Calculer
1) Arccos
cos2π 3
, 2) Arccos
cos−2π 3
, 3) Arccos
cos4π 3
.
Exercice 3 R´esoudre les ´equation suivantes Arcsinx= Arcsin2
5 + Arcsin3
5,Arccosx= 2 Arccos3 4 Arctanx= 2 Arctan1
2. Exercice 4 Montrer que
Arcsinx+ Arccosx=π
2, Arctanx+ Arctan1
x=sgn(x)π 2. Exercice 5 D´emontrer les in´egalit´es suivantes :
Arcsina < a
√1−a2 si 0< a <1.
Arctana > a
1 +a2 si a >0.
Exercice 6 Calculer :
x→+∞lim e−x(ch3x−sh3x) et lim
x→+∞(x−ln(chx)).
Exercice 7 Les r´eels x et y ´etant li´es par
x= ln(tan(y 2 +π
4)), calculer chx, shxet thxen fonction dey.
Exercice 8 R´esoudre l’´equationxy =yx o`uxety sont des entiers positifs non nuls.
Exercice 9
(1) Montrer que∀x6= 0,
thx= 2 th 2x− 1
thx. (2) Calculer alors la somme
Sn=
n
X
k=0
2kth(2kx).
1
2
Exercice 10
(1) Montrez que : ∀x∈[0,1],
Arcsin√ x= π
4 +1
2Arcsin(2x−1).
(2) Montrez que ∀x>0,
Arctan(shx) = Arccos 1 chx. (3) Montrez que ∀x>0,
sh(x)>x.
(4) Montrez que ∀x∈R+,
ch(x)>1 + x2 2 . Exercice 11 Soitf la fonction d´efinie par
f(x) = Arcsin(2xp
1−x2).
(1) Quel est l’ensemble de d´efinition def? (2) En posantx= sint,simplifier l’´ecriture def.
Exercice 12 On consid`ere la fonction num´eriquef telle que : f(x) = (x2−1) Arctan 1
2x−1, et on appelle (C) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
(1) Quel est l’ensemble de d´efinitionDdef ?
(2) Exprimer, surD \ {0}, la d´eriv´ee def sous la forme : f0(x) = 2xg(x).
(3) Montrer que :∀x∈R, 2x4−4x3+ 9x2−4x+ 1>0 et en d´eduire le tableau de variation de g.
(4) Dresser le tableau de variation def.
Exercice 13 R´esoudre dansRles ´equations suivantes : (1) chx= 2,
(2) Arcsin(2x) = Arcsinx+ Arcsin(x√ 2).
Exercice 14 D´emontrer que, pour tout x∈Ret toutn>1, on a 1 + th(x)
1−th(x) n
= 1 + th(nx) 1−th(nx). Exercice 15 Montrer que
n
X
k=0
ch(kx) = ch(nx/2) sh((n+ 1)x/2)
sh(x/2) .
Exercice 16 Pourn∈Net a, b∈R, calculer
n
X
k=0
ch(a+kb) et
n
X
k=0
sh(a+kb).
Exercice 17 Soitp∈N. (1) V´erifier que
Arctan(p+ 1)−Arctanp= Arctan 1 p2+p+ 1. (2) ´Etudier la convergence de
Sn =
n
X
p=0
Arctan 1 p2+p+ 1. Exercice 18
(1) Montrer que pour toutx∈R,
Arctanx+ 2 Arctan(p
1 +x2−x) = π 2. (2) Calculer, pour tousx, y∈Ravecy6=x1,
Arctan(x+y
1−xy)−Arctanx−Arctany.
