Former le tableau des signes de cos(2x) et 2 cos x − 1 pour x dans ] − π, π] . Déterminer l'ensemble des x de ] − π, π] tels que

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Exercices I

Exercice 1

Former le tableau des signes de cos(2x) et 2 cos x − 1 pour x dans ] − π, π] . Déterminer l'ensemble des x de ] − π, π] tels que

cos x + cos(3x) > cos(2x)

Exercice 2

Soit a , b , c trois nombres complexes de module 1 et deux à deux distincts. On considère

T = b(c − a) ² a(c − b) ²

1. On pose w = ^c−a _c−b . Exprimer w en fonction de a , b , c puis exprimer T avec un module.

2. Exprimer T en utilisant des arguments α , β , γ de a , b , c .

3. Interpréter géométriquement le résultat T ∈ R + démontré de deux manières diérentes dans les questions précédentes.

Exercice 3

Soit n ∈ N ^∗ et T n = {(i, j) ∈ N ² tq 1 ≤ i < j ≤ n} . On considère P n = Q

(i,j)∈T

ij . On se propose de calculer ce produit de deux manières diérentes.

1. On note u _j = Q j−1

i=1 (ij) et v _j = (j!) ^j−1 pour j ≥ 2 entier.

a. Simplier _v ^v

pour j ≥ 2 .

b. Exprimer u j à l'aide d'une factorielle et d'une puissance.

c. En déduire une expression de P n . 2. On pose

T _n ⁰ = {(i, j) ∈ N ² tq 1 ≤ j < i ≤ n} P _n ⁰ = Y

(i,j)∈T

ij

D n = {(i, i) ∈ N ² tq 1 ≤ i ≤ n} π n = Y

(i,j)∈D

ij

a. Calculer

Π n = Y

(i,j)∈{1,···n}

(ij)

b. Que vaut le produit P n π n P _n ⁰ ? c. Montrer que P _n = P _n ⁰ .

d. En déduire l'expression de P n .

Problème I

Ce problème présente quelques résultats autour d'équations du troisième degré.

I. Méthode de Cardan

1. Question de cours. Rappeler la dénition du nombre complexe j , l'expression de U 3

avec j ainsi que le résultat de cours sur l'ensemble des racines cubiques d'un nombre complexe non nul.

Par exemple, si p est un nombre complexe non nul, quel est l'ensemble des racines cubiques de − ^p ₂₇

?

Aucune démonstration n'est demandée dans cette question. Les valeurs de Re(j) et Im(j) ne servent à rien dans ce problème.

2. On se donne deux nombres complexes U , V non nuls et on note P = U V , S = U + V . Soit u 0 une racine cubique de U , v 0 une racine cubique de V et p 0 = u 0 v 0 .

a. Former tous les couples (u, v) vériant les trois conditions :

u est une racine cubique de U, v est une racine cubique de V, uv = p 0 . On note C l'ensemble de ces couples.

b. Montrer que, pour (u, v) ∈ C ,

(u + v) ³ − 3p ₀ (u + v) − S = 0

3. Soit p et q dans C avec p non nul. On considère l'équation d'inconnue z : z ² + qz − p ³

27 = 0

Justier qu'il existe des solutions U , V non nulles de cette équation et des complexes u 0 , v 0 tels que u ³ ₀ = U , v ₀ ³ = V et u 0 v 0 = − ^p ₃ . On reprend alors les notations de la question précédente.

Exprimer en fonction de p et q la relation de la question 2.b. vériée par les (u, v) ∈ C .

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4. Soit p et q dans C avec p non nul. On considère les équations d'inconnue z :

(1) z ³ + pz + q = 0

(2) z ² + qz − p ³

27 = 0

a. Expliquer comment on peut former des solutions de l'équation (1) à partir de solutions de l'équation (2) .

b. Que se passe-t-il pour les solutions que l'on forme par cette méthode dans le cas particulier où 4p ³ + 27q ² = 0 ?

5. Exemple. On considère l'équation

(1) z ³ − 3z + 1 = 0

a. Former l'équation (2) associée et donner ses solutions.

b. Préciser l'ensemble C déni comme en question 2.

c. Donner trois solutions de (1) .

II. Tableau de variations

On suppose ici que p et q sont des nombres réels avec p non nul. On considère l'équation d'inconnue z

(1) z ³ + pz + q = 0 et on dénit la fonction f dans R par :

∀x ∈ R , f (x) = x ³ + px + q

1. En distinguant deux cas, former les tableaux de variations possibles pour f . 2. Montrer que l'équation (1) admet toujours une solution réelle.

3. Montrer que l'équation (1) admet trois solutions réelles distinctes si et seulement si 4p ³ + 27q ² < 0 .

Exercices II

Exercice 1

Soit n un entier naturel non nul, montrer que 1 < 2 sin 1 puis que

n

X

k=0

cos 2k

≤ 2

Exercice 2

Soit m un nombre complexe non nul d'image M , soit P et Q les images des deux racines carrées de m . Quel est l'ensemble des points M tels que −−→

M P soit orthogonal à −−→

M Q .

Exercice 3

Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que l'origine O soit l'orthocentre du triangle formé par les points d'axes z, z ² , z ³ .

Exercice 4

Soit r un nombre réel strictement positif et diérent de 1. Trouver un nombre complexe u et un réel R tels que

∀z ∈ C ^∗ , | 1

z − i| = r ⇔ |z − u| = R

Problème II

Ce problème présente la preuve de Cauchy de l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique.

Pour un entier n non nul et n nombres réels strictement positifs a ₁ , a ₂ , · · · , a _n on dénit : la moyenne arihtmétique A(a ₁ , a ₂ , · · · , a _n ) de a ₁ , a ₂ , · · · , a _n en posant

A(a 1 , a 2 , · · · , a n ) = 1 n

n

X

i=1

a i

la moyenne géométrique G(a ₁ , a ₂ , · · · , a _n ) de a ₁ , a ₂ , · · · , a _n en posant

G(a ₁ , a ₂ , · · · , a _n ) =

n

Y

i=1

a _i

!

1. Montrer que A(a 1 , a 2 ) ≥ G(a 1 , a 2 ) . 2. Montrer par récurrence sur m que :

∀m ∈ N , ∀(a 1 , a 2 , · · · , a 2

) ∈ ( R ^∗ + ) ²

, A(a 1 , a 2 , · · · , a 2

) ≥ G(a 1 , a 2 , · · · , a 2

) Ceci prouve que la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique lorsque le nombre de réels mis en jeu est une puissance de 2. On se propose maintenant d'étendre cette inégalité pour un nombre quelconque de réels.

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3. Soit n un entier non nul et a 1 , a 2 , · · · , a n des nombres réels strictement positifs. Il existe un entier m tel que 2 ^m ≤ n < 2 ^m+1 . Notons a = A(a 1 , a 2 , · · · , a n ) et étendons la dénition des a _i en posant a _i = a pour tous les i entiers entre n + 1 et 2 ^m+1 .

a. Calculer A(a 1 , a 2 , · · · , a ₂

) .

b. Montrer que A(a 1 , a 2 , · · · , a n ) ≥ G(a 1 , a 2 , · · · , a n ) .

Exercices III

Exercice 1

Soit a, b, n des nombres entiers, on pose

D _a = {(x, y) ∈ N ² tq x + y = a}

T _n = {(x, y) ∈ N ² tq x + y ≤ n}

C n = {0, 1, · · · , n} ²

Donner une expression simple de chacune des sommes suivantes

A _a = X

(x,y)∈D

x + y x

B _n = X

(x,y)∈T

x + y x

G b,n =

n

X

x=0

x + b x

D n = X

(x,y)∈C

x + y x

Exercice 2

Pour k entier naturel et x réel non congru à 0 modulo π , linéariser 4 sin ² x sin(2kx)

et l'exprimer comme la diérence de deux termes consécutifs d'une suite. En déduire, pour des entiers p et q xés tels que p ≤ q , une autre expression de

q

X

k=p

4 sin ² x sin(2kx)

Exercice 3

Soit n un entier strictement positif, exprimer, pour k ∈ {0, 2, . . . , n − 1} ,

n k

2n k

−

n k+1

2n k+1

à l'aide d'un quotient de deux coecients du binôme.

En déduire une expression de

n

X

k=0 n k

2n−1 k

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