∫−21(x− x−1)dx , ∫02sin²( )tdt π , ∫02cos²( )x dx π , ∫04tan²( )xdx π ,∫02sin( )txdt π dx 1 x x , ∫01 x²x+1dx , ∫02tsin(t)dt π , ∫02t²sin(t)dt π , ∫01t 1−tdt

1 EXERCICE N°1

Calculer les intégrales suivants : dt

2

4t

∫0 ^{− ,} ∫₋²₁^{(x− x−1)dx ,} ∫₀^{2sin²( )tdt}

π

, ∫₀^2cos²( )^{x dx}

π

, ∫₀^4tan²( )^xdx

π

,∫₀^2sin( )^txdt

π

,∫₋¹₁ 14₊ 2009

dx 1 x

x ,

∫₀¹ _x²^x₊₁^{dx ,} ∫₀^2tsin(t)dt

π

, ∫₀^2t²sin(t)dt

π

, ∫₀^{1t 1−tdt,} ∫ ^{2 −}

4 x

x sin x cos

π x

π , ∫₀^1(2t+1)sinπ(^t²+t+1)^{dt, ,}

∫₁^eln_x^xdx, ∫₀^{1xexdx ,} ∫₀^πxsinxdx.

EXERCIECE N°2

1°)Déterminer trois réels a , b et c tels que : 2 x

x 3 x 2 ²

+

+ = ax + b + 2 x

c

+ pour tout réel x≠−2 2°)Calculer l’intégrale : I = ∫² ₊⁺

0 2

2 dx x

x 3 x

2 .

3°) Calculer l’intégrale : J = ∫^{2 + +}

0

dx ) 2 x ( Log ) 3 x 4

( .

EXERCICE N°3

Soient dx

) x 4 1 ( ) 1 x 2 (

x 2 I ² x

1 2

∫ ₊ 2 ⁺ ₋

= et dx

) x 4 1 ( ) 1 x 2 (

1 x J ² 2

1 2

∫ ₊ 2 ⁺ ₋

= .

1°) Calculer K = 2I + J et L = 2I – J.

2°) En déduire I et J.

EXERCICE N°4

On considère la fonction f définie sur [0, 1] par f(x) = xe x

1 1

− −

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1°) Donner une interprétation géométrique du nombre I = ∫₀^1f(x)dx.

2°) Soit ^{J1 =}∫₀^{1xe−xdx et J2 =}∫₀^1x²e−2xdx

a. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que : J1 = 1 - e 2

b. On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b et c tels que la fonction H(x) définie par H(x)= (ax² +bx + c)e^-2x soit une primitive de h(x) = x²e^-2x . En déduire que J2 = 



 



 −

² e 1 5 4

1 .

EXRCICE N°6

Soit la fonction f définie sur 



 



 2

;1

0 par :

x 1 ) e x ( f

x

= −⁻

on se propose de calculer une valeur approchée de l'intégrale : dx x 1 I e

2 x 1

0 −

=∫ ⁻

1°) En étudiant les variations de la fonction f, démontrer pour tout nombre réel x de 



 



 2

;1

0 :1 ≤ ^{f (x)} ≤ e

2 .

2°) a) Démontrer que, pour tout x de 



 



 2

;1

0 ,

x 1 x x x 1 1

1 ²

+ − +

− = .

Séries d’exercices ₄^ème _économie Integrations

IntegrationsIntegrations Integrations

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee

Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIR Ali AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/

2 b) En déduire que : I (1 x)e dx ² x² f(x)dx

1 0 x 12

0 ∫

∫ ^{+ +}

= ⁻

c) Calculer à l’aide d’une intégration par partie : J ² (1 x)e ^x dx

1 0

+ −

=∫

d) Déduire de (1) que :

e 12 dx 1 ) x ( f 24 x

1 12 ₂

0 ≤

≤∫

e) Déduire des questions précédentes une valeur décimale approchée de I à la précision 0,01.

EXERCICE N°7

Soit la fonction f définie sur R₊^* par : ^f(a)=∫₀^{1 1−xadx.}

1°)Soit pour tout ^t∈[ ]^{0,1 , g(t)}=¹−^t− ¹−^t. a) Etudier les variations de g

b) En déduire que , pour tout ^t∈[ ]^{0,1 ,g(t)≤0}

2°)Soit pour tout ^t∈[ ]^{0,1 , 1 t}

2 1 t ) t (

h = − − − ^.

c) Etudier les variations de h

d) En déduire que , pour tout ^t∈[ ]^{0,1 ,h(t)≥0}

3°)En déduire que , pur tout ^x∈[ ]^{0,1 : a a xa}

2 1 1 x 1 x

1− ≤ − ≤ −

4°)En déduire que :

2 a 2

1 a ) 2 a ( a f 1

a

+

< +

+ < ^.Calculer lim f(a)

a→+∞