MPSI B 29 juin 2019
Énoncé Exercice 1
Former le tableau des signes de cos(2x) et 2 cos x − 1 pour x dans ] − π, π] . Déterminer l'ensemble des x de ] − π, π] tels que
cos x + cos(3x) > cos(2x)
Exercice 2
Soit a , b , c trois nombres complexes de module 1 et deux à deux distincts. On considère T = b(c − a) 2
a(c − b) 2
1. On pose w = c−a c−b . Exprimer w en fonction de a , b , c puis exprimer T avec un module.
2. Exprimer T en utilisant des arguments α , β , γ de a , b , c .
3. Interpréter géométriquement le résultat T ∈ R + démontré de deux manières diérentes dans les questions précédentes.
Exercice 3
Soit n ∈ N ∗ et T n = {(i, j) ∈ N 2 tq 1 ≤ i < j ≤ n} . On considère P n = Q
(i,j)∈T
nij . On se propose de calculer ce produit de deux manières diérentes.
1. On note u j = Q j−1
i=1 (ij) et v j = (j!) j−1 pour j ≥ 2 entier.
a. Simplier v v
j−1jpour j ≥ 2 .
b. Exprimer u j à l'aide d'une factorielle et d'une puissance.
c. En déduire une expression de P n . 2. On pose
T n 0 = {(i, j) ∈ N 2 tq 1 ≤ j < i ≤ n} P n 0 = Y
(i,j)∈T
n0ij
D n = {(i, i) ∈ N 2 tq 1 ≤ i ≤ n} π n = Y
(i,j)∈D
nij
a. Calculer
Π n = Y
(i,j)∈{1,···n}
2(ij)
b. Que vaut le produit P n π n P n 0 ? c. Montrer que P n = P n 0 .
d. En déduire l'expression de P n .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Aelem12MPSI B 29 juin 2019
Corrigé Exercice 1
Les propriétés de la fonction cos conduisent aux tableaux suivants
−π − 3π 4 − π 4 0 π 4 − 3π 4 π
cos(2x) + 0 − 0 + 0 − 0 +
−π − π 3 0 π 3 π
2 cos(x) − 1 − 0 + 0 −
Comme cos x + cos(3x) = 2 cos(2x) cos x , on peut factoriser :
cos x + cos(3x) > cos(x) ⇔ (2 cos x − 1) cos(2x) > 0 On en déduit que l'ensemble cherché est
− 3π 4 , − π
3
∪ i
− π 4 , π
4 h ∪
π 3 , 3π
4
Exercice 2
1. Le point important ici est que le conjugué d'un nombre complexe de module 1 est son inverse. On en tire
w =
1 c − a 1
1
c − 1 b = b(a − c)
a(b − c) = b(c − a)
a(c − b) ⇒ T = ww = |w| 2 2. Utilisons les arguments comme l'indique l'énoncé :
T = e iβ (e iγ − e iα )
e iα (e iγ − e iβ ) = e i(β−α) e i
γ+α22i sin γ−α 2 e i
γ+β22i sin γ−β 2
! 2
= sin γ−α 2 sin γ−β 2
! 2
3. Les expressions trouvées aux deux questions précédentes montrent que T est un réel strictement positif. Cela se traduit par la congruence modulo 2π des arguments de b a et de b−c a−c . Géométriquement, c'est le théorème de l'angle au centre : 2( −→
CA, − − → CB) = ( −→
OA, − − →
OB) lorsque A , B , C sont des points d'un cercle de rayon 1 centré en O .
Exercice 3
1. a. Avec les notations de l'énoncé,
v j
v j−1 = j! (j × (j − 1)!) j−2
((j − 1)!) j−2 = j! × j j−2
b. Par dénition, u j est un produit de j −1 facteurs, chacun est lui même un produit de deux facteurs dont l'un est j . On en tire
u j = j j−1 (j − 1)! = j j−2 j!
On remarque en particulier que u j = v v
jj−1
.
c. On peut calculer P n par dominos multiplicatifs . P n =
n
Y
j=2 j−1
Y
i=1
(ij )
!
= u 2 u 3 · · · u n = v 2
v 1
v 3
v 2
· · · v n
v n−1 = v n
v 1
= (n!) n−1
2. a. Calcul de Π n :
Π n = Y
(i,j)∈{1,···n}
2(ij) =
n
Y
j=1 n
Y
i=1
(ij)
!
=
n
Y
j=1
j n
n
Y
i=1
i
!
=
n
Y
j=1
(j n (n!))
= (n!) n
n
Y
j=1
j n = (n!) 2n
b. Les ensembles de couples T n , D n et T n 0 recouvrent (sans se recouper) le carré {1, · · · n} 2 . On en déduit que P n π n P n 0 = Π n = (n!) 2n .
c. En posant i 0 = j et j 0 = i dans le produit dénissant P n , on obtient P n 0 car i 0 j 0 = ij .
d. Comme π n = (n!) 2 , on déduit de la question précédente que P n 2 (n!) 2 = (n!) 2n . On en tire P n = (n!) n−1 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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