π π π 131 cos 4 , sin 5 3 , cos 2

Classe de Première S1 Jeudi 27 janvier 2000 Devoir de mathématiques

N° 13 L’usage des calculatrices est totalement prohibé

Exercice 1) 3 points

a) Donner les valeurs exactes de

π π π 131 cos 4 , sin 5 3 , cos 2

b) Donner les formules de transformation

)

cos( 2 , ) sin(

, )

cos( π + x π − x x + π

cos( a + b ) , sin( a − b ) , cos( 2 a ) ( 3 formules ) , sin( 2 a )

Montrer les égalités suivantes : a) (sinx−cosx)² =1−sin2x

b)

(cos x − sin x )(cos x + sin x ) = cos 2 x

c)

x x sin 2 x

2 1 1 sin

cos

+

= −

d) cos² x−cos² y=sin² y−sin² x

e)

cos a sin( b − c ) + cos b sin( c − a ) + cos c sin( a − b ) = 0

En employant deux fois la formule de duplication, montrer que : 1

cos 8 cos 8 ) 4

cos( x = ⁴ x− ² x+ Exercice 4) (12 points)

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a, I le milieu de [BC] et D le symétrique de A par rapport à (BC).

Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure de l’exercice.

a) Quelle est la nature de ABDC ?

b) Calculer le produit scalaire AB.AC en fonction de a.

c) Quel est l’ensemble des points M tels que ? 2 a2

= MC .

MB Le représenter.

d) Montrer que pour tout point M du plan,

. 2

2

2 a

+ AD MA

=MA MC .

MB +

e) En déduire l’ensemble des points M du plan tels que MB.MC=MA². Le représenter.

g) On appelle G le barycentre de (A,, 2) (B, 1) (C, 1) . Montrer que G est le milieu de [AI].

h) On définit, pour tout point M du plan, f(M)=MA² +MB.MC. Montrer que f(M)= f(G)+2MG²

Calculer

f ( A )

f (G )

Pour quelle valeur de k la ligne de niveau k de f passe-t-elle par B ?