Montrer cos(π/12

MPSI 2 Semaine 2

Exercice 1 Trigonométrie

1. Calculercos(π/9) cos(2π/9) cos(4π/9). 2. Montrer sin(π/10) cos(π/5) = 1/4. 3. Montrer cos(π/12) + sin(π/12)

cos(π/12)−sin(π/12) =√ 3.

4. Siα,β etγsont les trois angles au sommet d'un triangle, montrersin(α+β) = sin(γ)etsin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4 sin(α) sin(β) sin(γ).

5. Montrer que, pour toutxréel, on asin(x) + sin x+^2π₃

+ sin x+^4π₃

= 0. 6. Montrer que, pour toutxréel, on asin(x) + 2 sin(3x) + sin(5x) = 4 cos²(x) sin(3x). Exercice 2 Trigonométrie hyperbolique et fonctions réciproques

1. Montrer ∀x∈R,2 arctan(tanh(x)) = arctan(sinh(2x)). 2. Montrer ∀x ∈ R, sinh(x) = √^tanh(x)

1−tanh²(x) puis résoudre l'équation en x, 2 argsh(x) + argth(¹₂) = argch(3).

3. Montrer ∀x∈R^∗, arctan(x) + arctan _x¹

= sgn(x)^π₂.

4. Montrer, pourxetyréels vériant|arctan(x) + arctan(y)| ≤ ^π₂, l'assertionarctan(x) + arctan(y) = arctan_x+y

1−xy

. Que dire dans les autres cas ?

5. Résoudre l'équation en xréel, arctan(x)−arctan ^x₃

= arccos ^x₂. Exercice 3 Formes des nombres complexes

1. Donner la forme algébrique de 3 + 6i

3−4i,1 +i 2−i

²

+1−7i

4 + 3i et 2 + 5i

1−i +2−5i 1 +i . 2. Donner la forme exponentielle de 3

1−i, (1 +i)³

1−i +(1−i)⁴ (1−i)² et (√

6−i√

2)(1 +i)

1−i .

3. Donner, pourθréel, la forme trigonométrique de 1−cos(θ)−isin(θ) 1 + cos(θ)−isin(θ). Exercice 4 Nombres complexes

1. Résoudre dans C l'équation z⁴+ 1 = 0. En déduire une factorisation du polynôme X⁴+ 1 en produit de deux polynômes à coecients réels.

2. Résoudre dansC l'équationz¯=az+b, avecaetbcomplexes, etanon nul.

3. Montre que, si z est réel, alors

z−i z+i

= 1. Réciproquement, si u = e^iθ pour un certain θ réel, peut-on écrireusous la forme précédente avecz réel ? A-t-on ainsi construit une bijection entreR et U?

4. Soitz1etz2deux complexes. Montrer que, si un complexeuvérieu²=z1z2, alors on a|z1|+|z2|=

^z1+z₂ ² +u

+

^z1+z₂ ² −u .

5. Soit (ABC)un triangle du plan. On note a, b, c les axes respectives de ses sommets. Montrer que(ABS)est équilatéral si et seulement sia²+b²+c²−ab−bc−ca= 0.

6. Donner une forme algébrique de e^iπ/3 et dee^−iπ/4. Donner une forme algébrique du produit et en déduire les valeurs exactes decos(π/12)et de sin(π/12).

7. Soitz le complexee^2iπ/5. Montrer1 +z+z²+z³+z⁴= 0. En déduirecos ^2π₅

+ cos ^4π₅

=−¹₂ et cos ^2π₅

cos ^4π₅

=−¹₄. Donner la valeur exacte decos ^2π₅ .

Feuille d'exercices 3 Page 1/1