cos ( π 2 + π15

Première S2 Exercices sur le chapitre 13 : E6. 2007 2008

E6 Angles et trigonométrie.

P 218 n ° 56.

π − π15 = 14π15 ; π + π 15 = 16π15 ; π2 − π

15 = 13π30 ; π2 + π

15 = 17π30 A = cos π

15 + cos 13π

30 + cos 17π

30 + cos 29π

15 = cos π

15 + cos ( π

2 − π15 ) + cos ( π

2 + π15 ) + cos ( 2π − π15 ) A = cos π

15 + sin π

15 + ( − sin π

15 ) + cos ( - π

15 ) = cos π

15 + cos π

15 = 2 cos π 15

P 218 n ° 57.

cos ( π 5 ) = 1

4 ( 1 + 5 ) cos ² ( π

5 ) + sin² ( π

5 ) = 1 donc sin² ( π

5 ) = 1 − 1

16 ( 1 + 5 )² = 16 16 − 1

16 − 2 5 16 − 5

16 = 10

16 − 2 5 16 sin ( π

5 ) = 1

4 10−2 5 4π5 = π − π5 cos ( 4π

5 ) = cos ( π − π5 ) = - cos ( π

5 ) et sin ( 4π

5 ) = sin ( π − π5 ) = sin ( π 5 ) 6π5 = π + π5 cos ( 6π

5 ) = cos ( π + π5 ) = - cos ( π

5 ) et sin ( 6π

5 ) = sin ( π + π5 ) = - sin ( π 5 ) 3π10 = π2 − π

5 cos ( 3π

10 ) = cos ( π

2 − π5 ) = sin ( π

5 ) et sin ( 3π

10 ) = sin ( π

2 − π5 ) = cos ( π 5 ) 7π10 = π

2 + π5 cos ( 7π

10 ) = cos ( π

2 + π5 ) = - sin ( π

5 ) et sin ( 7π

10 ) = sin ( π

2 + π5 ) = cos ( π 5 ) p 218 n ° 60.

( ÄBA , ÄBC ) = π

2 et ( ÄCB , ÄCD ) = π 2

La somme des trois mesures des trois angles d'un triangle est égale à π.

D'où ( ÄAD , ÄAC ) + ( ÄDC , ÄDA ) + ( ÄCA , ÄCD ) = π.

Or la droite ( AC ) est la bissectrice de l'angle BCD. donc ( ÄÆ CA , ÄCD ) = π4 Or CA = CD donc CAD est un triangle isocèle en C.

D'où ( ÄAD , ÄAC ) = ( ÄDC , ÄDA ).

Donc 2 ( ÄAD , ÄAC ) + π

4 = π ⇔ ( ÄAD , ÄAC ) = 3π 8 Donc ( ÄAC , ÄAD ) = - ( ÄAD , ÄAC ) = − 3π8

Or BAC est un triangle isocèle et rectangle en B.

D'où ( ÄAC , ÄAB ) = π 4

Donc ( ÄAD , ÄAB ) = ( ÄAD , ÄAC ) + ( ÄAC , ÄAB ) = 3π

8 + π4 = 5π 8 ( ÄDA , ÄDC ) = - ( ÄDC , ÄDA ) = − 3π8