Exercice 40 p. 44. — Graphiquement, arg(zA) = π
2 [2π], arg(zB) =π [2π], arg(zC) = 0 [2π], arg(zD) = π
4 [2π], arg(zE) =−3π
4 [2π], arg(zF) = −π 4 [2π].
Exercice 45 p. 44. — Graphiquement, |zA|= 2 et arg(zA) = π
3 [2π] (car A est sur un cercle de rayon 2 et son abscisse est 1). Ainsi, zA= 2
cos
π 3
+ i sin
π 3
= 2 1 2 + i
√3 2
!
= 1 + i√ 3.
Graphiquement, |zB|= 4 et arg(zB) = −π
6 [2π] (car B est sur un cercle de rayon 4 et son ordonnée est -2). Ainsi, zB = 4
cos
−π 6
+ i sin
−π 6
= 4
√3 2 −i1
2
!
= 2√
3−2 i . Graphiquement,|zC|= 2 et arg(zC) = π
3+π
2 [2π] = 5π
6 [2π]. Ainsi,zC = 2
cos
5π 3
+ i sin
5π 3
= 2 −
√3 2 + i1
2
!
=−2√ 3 + i .
Graphiquement,|zD|= 4 et arg(zD) = π
3+π[2π] = 4π
3 [2π]. Ainsi,zD= 4
cos
4π 3
+ i sin
4π 3
= 4 −1
2−i
√3 2
!
=−2−2 i√ 3.
Exercice 46 p. 44. Sur le graphique ci-dessous, A correspond à l’énoncé a., B à l’énoncé b. et ainsi de suite.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−3
−1 1 3 5
A
B
C D
E
Exercice 48 p. 44 1. z = 3
cos
π 2
+ i sin
π 2
= 3(0 + i ) = 3 i .
2. z = 2 (cos (π) + i sin (π)) = 2(−1 + i 0) =−2.
3. z = 1
cos
−π 3
+ i sin
−π 3
= 1 2 −i
√3 2 . 4. z = 5
cos
3π 4
+ i sin
3π 4
= 5 −
√2 2 −i
√2 2
!
=−5√ 2
2 −i5√ 2 2 . 5. z = 4
cos
−5π 6
+ i sin
−5π 6
= 4 −
√3 2 − 1
2i
!
=−2√
3−2 i .
Exercice 52 p. 44.
|zA|=√
2 et arg(zA) =−π 4 [2π]
|zB|= 4 et arg(zB) =−3π 4 [2π]
|zC|= 4 et arg(zC) = π 3 [2π]
|zD|= 3 et arg(zD) = π 2 [2π]
Exercice 54 p. 45
1. Pour tout point M d’affixez 6= 0, arg(z) =−π
2 [2π] si et seulement si (~u,−−→
OM ) =−π 2 [2π]
donc l’ensemble cherché Ea est la demi-droite ]OB) où B est le point d’affixe −i . 2. Pour tout point M d’affixe z 6= 1, arg(z−1) =−π
4 [2π] si et seulement si (~u,−−→
CM ) =
−π
4 [2π] où C est le point d’affixe 1 donc l’ensemble cherché Eb est la demi-droite ]CD) où D est le point d’affixe 2−i .
3. Pour tout point M d’affixe z 6= 2− i , arg(z −2 + i ) = 5π
6 [2π] si et seulement si (~u,−−→
DM ) = 5π
6 [2π] donc l’ensemble cherché Ec est la demi-droite ]EF) où F est le point d’affixe 2−√
3.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
−1 1 2
Ea
Eb
Ec
B O
C D E
