D1868 – Une sangaku à la romaine [*** à la main]
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Donner tout renseignement permettant de construire la figure suivante à partir du petit cercle dont le rayon est égal à l’unité:
On fixe deux directions d'axes orthogonales et l'on prend deux points A et A' diamétralement opposés sur le petit cercle de rayon 1. Soit l'angle que fait le diamètre AA' avec l'axe horizontal (il sera calculé in fine).
Avec A pour centre, on trace un cercle de rayon 2. Il est tangent au petit cercle en A'.
On trace les tangentes au cercle (A) au point le plus haut et au point le plus à gauche.
On procède de même à partir de A' par symétrie ponctuelle autour de O et l'on ferme le rectangle formé par les 4 tangentes.
On efface tous les arcs des cercles (A) et (A') extérieurs au rectangle, ainsi que, dans (A), l'arc tracé depuis A' sous la diagonale et dans (A') de même mutatis mutandis.
La demi-hauteur du rectangle est : h/2 = 2 – sin
Sa demi-longueur est : L/2 = 2 + cos Or on a par ailleurs :
h/L = tan D'où :
(2 – sin cos 2 + cos sin
Soit :
cos sin sin cos
En résolvant, on trouve :
= 0,488 radians = 27,96°
h = 3,06 L = 5,77
On vérifie que h/L = tan
Nota
Si l'on ne choisit pas correctement l'angle que fait le diamètre AA' avec l'axe horizontal, on obtiendra une figure comparable à celle de l'énoncé, mais AA' ne sera pas sur la diagonale du rectangle.
