D606-Avec le compas seulement

(1)

D606-Avec le compas seulement

Solution

1- On trace les deux cercles (Ca) et (Cb) de centre A et de centre B qui ont pour rayon la distance AB. L’un des deux points d’intersection est P. Le cercle (tracé en rouge) de centre P et de rayon PA=AB coupe le cercle (Ca) en Q et le cercle (tracé en bleu) de centre Q et de rayon QP=QA=AB coupe le cercle rouge au point recherché C. Il est facile de vérifier que PQ est parallèle à AB (ABPQ est un losange) et que AC est médiatrice de PQ. Donc AC est perpendiculaire à AB au point A.

2- On trace le cercle (Ce) de centre A et de rayon 1 puis on trace un cercle de rayon 1 dont le centre est un point B de la circonférence de (Ce). Ce cercle coupe (Ce) en C et D. Le cercle de centre C et de rayon 1 coupe (Ce) en B et E. On a EB = DC = 3. Les cercles de centres D et E et de rayons EB = DC = 3 se coupent en F. On a la relation AF EF²AE²  2. Le cercle de centre D et de rayon égal à AF= 2 coupe (Ce) en G. Il ne reste plus qu’à tracer les deux cercles de centres D et G et de rayon 1 pour obtenir le point H à l’intersection de ces deux cercles. On vérifie sans peine que A, D, H et G sont bien les sommets d’un carré.

(2)

3- Les deux cercles (Ca) et (Cb) de centres A et B et de rayon AB=1 se coupent aux points P et Q. Le cercle (Cp) qui est tracé en rouge a pour centre P et rayon PQ coupent (Ca) et (Cb) aux points E et F qui sont diamétralement opposés aux points B et A au sein des cercles (Ca) et (Cb). Les cercles (Ce1) et (Cf1) qui sont tracés en bleu ont pour centres E et F et rayon EB

= FA = 2. Ils coupent les cercles (Cb) et (Ca) en H et G .Enfin, les cercles (Ce2) et (Cf2) qui sont tracés en vert et ont pour centres E et F et pour rayon EG = FH, se coupent aux points C et D qui forment avec A et B un carré dont les diagonales sont AB et CD.

En effet la loi des cosinus dans le triangle AFG donne tout d’abord cos(FAG) = 1/4

) )/(2.AF.AG FG

AG

(AF² ² ²  .

D’où EG²EA²GA²2.EA.GA.cos(EAG)22.cos(FAG)5/2 et comme CD est médiatrice de AB et de EF, on a la relation :

1/4 9/4 10/4 /4 EF EG EH EC

CH² ² ² ² ²    . Il en résulte CH = 1/2 = AB/2.

(3)

Nota : les segments AB, EF, CE, EG,…ont été tracés en pointillés par commodité pour

faciliter la compréhension des relations précédentes mais ils n’interviennent nullement dans la construction des points C et D.

4- La construction du point M milieu de AB a beaucoup de points communs avec la

construction précédente. Les cercles (Ca) et (Cb) de rayon AB=1 et centres A et B se coupent en P et Q. L’arc de cercle ce centre P et de rayon PQ coupe (Cb) en un point C

diamétralement opposé à A par rapport à B sur le cercle (Cb). L’arc de cercle de centre C et de rayon CA=2 coupe le cercle (Ca) en deux points D et E symétriques l’un de l’autre par rapport à AB. Enfin les deux cercles tracés en bleu de centres D et E et de rayon DA=EA se coupent en A et M. Ce dernier point qui est situé sur AB en raison de la position symétrique des deux cercles par rapport à AB, est le milieu de AB. En effet, les triangles ACD et ADM qui sont tous deux isocèles ont en commun l’angle DAM, sont semblables entre eux . D’où AM /AD = AD/AC =1/2 et AM = 1/2

(4)

5- En admettant comme acquise la construction du milieu M du segment PO analysée au point 4, la construction des points de tangence T₁et T₂est très simple. Le cercle de centre M et de rayon MO=MP coupe le cercle de centre O aux points recherchés T₁et T₂. En effet les angles

P OT et P

OT₁ ₂ étant droits, les droites PT₁et OT₁comme PT₂et OT₂sont perpendiculaires entre elles.

6- Le cercle de centre et de rayon inconnus est tracé en noir. Soit un point P quelconque sur la circonférence de ce cercle. On trace un cercle Cp (couleur bleue) de centre P et de rayon quelconque R qui coupe le cercle noir en deux points A et B. Les cercles Ca et Cb (couleur rouge) de centres A et B et de rayon AP = BP =R se coupent en P et en C. Du point C pris comme centre on trace le cercle Cc (couleur verte) de rayon CP qui coupe Cp en deux points D et E. Les cercles Cd et De (couleur mauve) de centres D et E et de rayon DP = EP se coupent en deux points P déjà connu et O qui est le centre du cercle que l’on cherche.

Preuve : les triangles CDP et DOP sont isocèles, le premier car CD et CP sont rayons du cercle vert Cc et le second car DO et DP sont rayons du cercle mauve Cd. Comme ces deux triangles ont en commun l’angle APC, ils sont donc semblables. Il en découle DP / OP = CP / DP. Or dans le cercle bleu Cp, on a DP = AP qui sont tus deux rayons de ce cercle. D’où la

(5)

relation AP / OP = CP / AP. Les triangles APC et AOP qui ont en commun l’angle APC sont donc semblables. Comme APC est isocèle de sommet A , AOP l’est également avec son sommet en O. D’où OP = OA. De la même manière en raison de la symétrie complète de la figure par rapport à l’axe passant par P et C, on a OP = OB. Le point O équidistant des points A,B et P est donc bien le centre du cercle noir.