D10375. Le rayon mystérieux
Jules a tracé un cercle de rayon a; Romain a tracé dans le même plan un cercle de rayon bqui coupe le premier en C etD. Une tangente commune à ces deux cercles les touche en A etB respectivement. Quel est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC?
Solution
Le rayon cherché est la moyenne géométrique √
abdes rayons, quelle que soit la configuration des cercles donnés pourvu qu’ils se coupent.
En effet, une inversion de pôle C et de puissance 2abtransforme respecti- vement : A,B, le cercle circonscrit à ABC (de rayon r à déterminer), la droite AB, le cercle de rayon a, le cercle de rayonb, en :A0,B0, la droite A0B0 à distance ab/r de C, le cercle γ circonscrit àCA0B0, la tangente à γ en A0 à distanceb de C, la tangente àγ en B0 à distanceade C.
Cela ramène le problème à la propriété suivante : soit un cercle et deux de ses tangentes ; la distance d’un point du cercle à la droite joignant les points de contact est la moyenne géométrique des distances aux tangentes.
Preuve : si le cercle est de rayon R, l’angle des tangentes 2V, W l’angle entre la bissectrice des tangentes et le rayon aboutissant à un point du cercle, les distances de ce point aux tangentes sontR(sin(V ±W) + 1), de moyenne géométrique R|sinV + cosW|, qui est la distance du point à la droite joignant les points de contact.
Ainsi ab/r=√
ab=r comme annoncé.
Remarques.
Jean Tutenuit et Christian Stéfani établissent la similitude des triangles ABC, A1C1C, C1B1C (où A1, B1, C1 sont les centres des cercles de l’énoncé).
Roger Lassiaille propose : dans le triangle ABC, les angles en A et B, soient xety, sont respectivement inscrits sur les arcsAC etBC dans les cercles de rayonaetb; ils valent donc la moitié des angles au centre, d’où : AC= 2asinxetBC = 2bsiny. Par la propriété des sinus dans ce triangle : AC/sinx=BC/siny= 2R devient : asinx/siny=bsiny/sinx=R, et donc en multipliant les deux premiers membres :R2 =ab.
Jean-Nicolas Pasquay a une approche voisine.
Bernard Legrand recourt à l’inversion de pôle A et de puissance AB2. L’inverse de C étant C0, les diverses expressions de sinABC0 conduisent au résultat.
Maurice Sadoulet recourt à un méta-argument : observant que l’énoncé ne précise pas la position relative des cercles sécants, il en déduit que le résultat peut être obtenu en choisissant une position commode, comme celle où les deux cercles sont tangents.
