D165. Trisection dans un triangle pythagoricien

D165. Trisection dans un triangle pythagoricien

Soit le triangle rectangle ABC dans lequel AB = 4, BC = 5 et CA = 3. Le cercle inscrit de centre I touche les côtés BC,CA et AB respectivement en D, E et F. Soient P,Q,R les points du cercle inscrit diamétralement opposés à D,E et F. La droite CR rencontre AB en V. Démontrer que :

1) les points A, C, I, P et R sont cocycliques,

2) les droites AP et CR se rencontrent en Q,

3) les points R et Q partagent le segment CV en trois segments égaux.

On sait que le cercle inscrit d’un triangle ABC de coté , , est défini

• par son centre I, barycentre de (A, ), (B, ) (C, )

• par son rayon = , où est l’aire du triangle ABC

Dans le repère cartésien orthonormé (puisque 3² + 4² = 5²) = et = on a par construction : A , B , C^" , = 5, = 3, = 4

Soit # $^%_& le centre du cercle inscrit '( qui est défini par . # + . # + . # = 0 En projetant sur O et O, on obtient :

5. '0 − ( + 3. '0 − ( + 4. '3 − ( = 0 soit = 1 et 5. '0 − ( + 3. '4 − ( + 4. '0 − ( = 0 soit = 1 Donc les coordonnées de I sont : I^/_/

L’aire du triangle ABC est ^/

'3.4( = 6 donc le rayon 1 du cercle inscrit '( est ^.2

" 3= 1 L’équation de '( est ' − 1(+ ' − 1( = 1

L’équation de la droite '( qui coupe O en = 3 et O en = 4 est ^%

"+^&= 1 D’où les coordonnées du point D = '( ∩ '( : D 6₉⁷⁸³

83

Les coordonnées des points E et F sont immédiates en faisant = 0 puis = 0 dans l’équation de '(

On obtient ainsi : E^/ et F_/

Soit '^<, ^<( les coordonnées du point diamétralement opposé au point de coordonnées ', ( : On a les relations ^<− 1 = −' − 1( et ^<− 1 = −' − 1( soit ^< = 2 − et ^<= 2 − Dont on déduit les coordonnées des points P, Q, R diametralement opposés aux points D, E, F

P 6^{?7 38 @/ 38}

?9 38 @ 38 , Q^?/@/_?@ et R^?@_?/@/

Pour faire bonne mesure, on calcule les coordonnés du point V L’équation de la droite 'C( passant par R_/ et C^" est + = 3 Pour = 0 on = 3 , ce qui donne les coordonnées du point V : V_"

Maintenant, on peut s’occuper des questions, avec les coordonnées de tous les points :

A 60

0 B604 C630 I611 DE985

885 E610 F601 PE1 85

285 Q 61

2 R621 V603

1) les points A, C, I, P et R sont cocycliques.

Déterminons le cercle 'Γ( définit par les points A, C, I. Soit ' − I(+ ' − J(= C l’équation de 'Γ(. 'Γ( passe par A donc : (1) I+ J= C

'Γ( passe par I^/_/ donc : (2) '1 − I(+ '1 − J(= C 'Γ( passe par C^" donc : (3) '3 − I(+ J= C (3)-(1) donne '3 − I(+ J− I− J= 0 soit I = 3 28

(2)-(1) donne '1 − I(+ '1 − J(− I− J= 0 soit I + J = 1 et J = − 1 28 Vient ensuite C = 5 28

L’équation de 'Γ( est donc K − 3 28 L+ K + 1 28 L= 5 28

On vérifie alors que P 6^{/ 38} ₃₈ et R_/ appartiennent à 'Γ( :

Pour P : M1 58 − 3 28 N+ M2 58 + 1 28 N=^/27_/+_/^9/ =³_/=³ donc P œ'Γ(

Pour R : K2 − 3 28 L+ K1 + 1 28 L=^/+⁷=^/=³ donc R œ'Γ(

Et les cinq points A, C, I, P et R sont cocycliques 2) les droites AP et CR se rencontrent en Q.

L’équation de la droite 'O( passant par A et P 6^{/ 38} ₃₈ est = 2 L’équation de la droite 'C( passant par R_/ et C^" est + = 3

L’intersection de 'O( et 'C( est donnée par 2 = 3 − soit = 1 et donc = 2 qui sont les coordonnées de Q.

3) les points R et Q partagent le segment CV en trois segments égaux.

PQ= '1 − 0(+ '2 − 3(= 2 QC= '1 − 2(+ '2 − 1(= 2 C= '2 − 3(+ '1 − 0(= 2 Donc PQ = QC = C = √2 et partagent P en trois segments égaux.