D168 : Cercle inscrit dans un triangle pythagoricien
Problème proposé par Dominique Roux (Q1) et par Pierre Jullien (Q2)
Q1- En désignant par a,b,c les longueurs des côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse c et par d le diamètre de son cercle inscrit démontrer la relation a + b = c + d.
Q2- En déduire le nombre de triangles pythagoriciens dont le cercle inscrit a pour rayon 2010. Généraliser.
Les segments joignant le sommet de l’angle droit aux points de contact du cercle inscrit ont pour longueur le rayon de celui-ci. Si s et t sont les longueurs des segments joignant les autres sommets aux points de contact du cercle inscrit, on a donc a=s+d/2, b=t+d/2, c=s+t, donc a+b=c+d
La forme générale des triplets pythagoriciens, avec m, p, q entiers, p>q premiers entre eux, est a=m(p2-q2), b=2mpq, c=m(p2+q2), donc ici, d=a+b-c=2mq(p-q). De plus, lorsque m est pair, m=2n, si l’on pose u=p+q, v=p-q, u et v étant premiers entre eux, donc u+v=2p et u-v=2q, on obtient a=2nuv, b=n(u2-v2), c=n(u2+v2) : n, u, v donnent le même triplet que m, p, q, et l’on peut donc se limiter au cas où m est impair pour obtenir toutes les solutions.
Or 2010=2*3*5*67 : il y a donc autant de triangles répondant au problème que de façons de factoriser 2010 en trois facteurs (avec q et p-q premiers entre eux, et m impair): la facteur 2 peut diviser q ou p-q, et chacun des 3 autres facteurs premiers de 2010 pouvant diviser au choix un des trois facteurs m, q ou p-q, il y a 2*33= 54 solutions.
On peut généraliser aisément au cas de nombres n’ayant que des facteurs premiers à la puissance 1; Le cas où les facteurs premiers sont à une puissance différente de 1 est un peu plus complexe, puisqu’il faut que q et p-q soient premiers entre eux.
