D1800. Quartés gagnants (1ère course)
Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A1,B1et C1.
La droite A1I coupe la médiane AA’ du triangle ABC au point P.
La perpendiculaire menée de I à la droite AA’ rencontre au point Q la parallèle menée de A au côté BC.
La bissectrice de l’angle en C du triangle ABC coupe au point R la parallèle menée de A’ au côté AC.
La bissectrice de l’angle en B coupe le cercle de diamètre BC en un deuxième point S
Peut-on raisonnablement parier que les quatre points P,Q,R et S pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?
On va prouver que les quatre points PQRS sont alignés sur la droite D définie par B1C1 .
La parallèle à BC passant par A et la médiane AA' forment ,avec les droites AB et AC, un faisceau harmonique. Soit B1P'C1 Q' la division harmonique qu'il découpe sur la droite B1C1. Les points P' et Q' sont conjugués par rapport au cercle (I). La polaire de A par rapport à (I) est B1P'C1 Q'.
Le point P' est sur la polaire de Q', et sur celle, B1C1 , de A, donc P' est le pôle de AQ'.
La polaire de P' est AQ', la polaire de A est P'Q', et donc la polaire de Q' est AP' : AP'Q' est un triangle autopolaire.
Soit W le point à l'infini BC∩AQ' , sa polaire est le diamètre perpendiculaire à cette direction, qui passe par le pôle A1 de BC, et par le pôle P' de AQ', P' est donc sur le diamètre A1I perpendiculaire à BC. P' est bien le point P de l'énoncé et P appartient à D.
Q' est pôle de la médiane AA', donc IQ' est perpendiculaire à la droite AA', les droites IQ' et IQ sont confondues, et de même les points Q' et Q. Donc Q appartient à D.
Posons AB=c, BC=a, CA=b, p=(a+b+c)/2. Dans un repère normé d'origine A d'axes dirigés par AB et AC, les points suivants ont pour coordonnées : A(0,0), B(c,0), C(0,b), A'(c/2, b/2), I [ bc/(a+b+c), bc/(a+b+c) ] car I est barycentre de A, B, C affectés de a, b, c .
En annulant le déterminant de (x,y,1), (0,b,1), et (bc, bc, a+b+c) on obtient l'équation de CI (a+b)x+c(y-b) = 0, la droite A'R a pour équation x=c/2. L'intersection R de ces deux droites a pour coordonnées R[c/2, (b-a)/2] qui satisfont à l'équation x+y = (-a+b+c)/2 = (p-a)/2 qui est bien l'équation de D. Donc le point R appartient à D.
Angle A'RC= angle RCA (alternes-internes) =A'CR d'où CA'R est un triangle isocèle,
A'C=A'R=A'B . R peut être défini comme intersection du cercle de diamètre BC et de la bissectrice de C. En échangeant B et C, le point R est remplacé par l'intersection du cercle de diamètre BC et
de la bissectrice de B c'est à dire par S.
Donc le point S appartient à D.
En conclusion, les quatre points P, Q, R, S sont alignés sur la droite D définie par B1C1 .
