D1853. De retour de Djakarta ****
Problème proposé par Jean-Louis Aymé
Soit un triangle ABC dont le cercle inscrit (γ) touche les côtés BC,CA et AB respectivement aux points D,E et F. Soient M le deuxième point d'intersection de la droite (AD) avec le cercle (γ) et N le deuxième point d'intersection de la droite (DF) avec le cercle circonscrit au triangle MDC. G étant le point d'intersection des droites (CN) et (AB), démontrer que CD = 3GF
Solution proposée par Jean Nicot
La parallèle en C à AB coupe EF en J, FD en J’
Les triangles AFE, CEJ sont isocèles donc CE=CJ.
Les triangles BFE et DCJ’ sont isocèles. Comme CE=CD, CJ=CD.
La bissectrice de A coupe CJ en J’’, FE en S. FD est perpendiculaire à BS. Le triangle BCJ’’ est isocèle donc JJ’’=BD=BF. Les triangles BFS et J’’JS sont donc égaux et FS=SJ. S est milieu de BJ’’ et l’angle BSC est droit donc FD et SC sont parallèles.
NC coupe EF en K. le théorème de Ménélaüs appliqué au triangle KCJ’ avec la sécante FNJ’ donne (FK/FJ) * (J’J/J’C) * (NC/NK)=1 or NC/NK=FS/FK avec Thalès et J’J/J’C=2 d’où 2FK=FJ et KF=FS=SJ.
Les triangles KFG et KJC homothétiques de rapport 3, donnent CJ = CD = 3GF.
