D165 – Cercle inscrit dans un triangle pythagoricien [*** à la main]
Soit le triangle rectangle ABC dans lequel AB = 4, BC = 5 et CA = 3. Le cercle inscrit de centre I touche les côtés AB, BC et CA respectivement en D, E et F. Soient P,Q,R les points du cercle inscrit diamétralement opposés à D,E et F. La droite CR rencontre AB en V.
Démontrer que :
1) les points A, C, I, P et R sont cocycliques,
2) les droites AP et CR se rencontrent en Q et les points R et Q donnent une trisection du segment CV en trois segments égaux.
Solution
On trace le cercle inscrit du triangle ABC qui a pour centre le point I et les deux cercles exinscrits respectivement tangents aux côtés BC et AB aux points T et V du triangle et qui ont pour centres les pointsI et a I . Le deuxième cercle exinscrit de centre c I est tangent aux c droites AC et BC aux points H et K.
Lemme 1: La droite CV passe par le point R diamétralement opposé sur le cercle inscrit au point de tangence F de ce cercle avec AB. En effet l’homothétie H de centre C qui transforme le cercle exinscrit de centre I en le cercle inscrit amène K en D et H en E. Le point V devient c un point R’ tel que R’I est parallèle à IcV. Donc R’I est perpendiculaire à AC et R’ est confondu avec R.
De la même manière la droite AT passe par le point P diamétralement opposé sur le cercle inscrit au point de tangence D de ce cercle avec BC.
Lemme 2 : Comme CH = CA + AV = CK = CB + BV = CB + AB – AV, on en déduit 2AV = CB + AB – CA = 5 + 4 – 3 = 6. D’où AV = 3 (le triangle ACV est donc rectangle isocèle) et BV = 1, d’où CK = 6. Par ailleurs IE = IF = 1. AEIF est un carré. D’où AE = AF = 1. Puis CD
= CE = CA – EA = 2. L’homothétie H précédemment mentionnée est de rapport CD/CK = 1/3.
De la même manière, on obtient CT + CA = AB + BT = AB + CB – CT. D’où 2CT = AB + CB – CA = 6, ce qui donne CT = 3 (le triangle ACT est isocèle de sommet C) et DT = 1.Enfin comme IF = 1 et VIc =3, le point W sur FV est tel que WV = 3FW. Il en résulte FW = 1/2.
Question n°1
Les deux triangles ACT et RVA sont égaux car CT = VA = 3 et les deux hauteurs PD = RF = 2 ont leurs pieds D et F sur CT et VA tels que FA = DT = 1. Les angles ARV et CPT sont donc égaux. Il en est de même des angles supplémentaires CRA et APC. Les quatre points A,P,R et C sont donc cocycliques.
D’autre part comme CA et RF sont perpendiculaires à AB, CAR = ARF. Les triangles rectangles RFA et IFW sont semblables car les côtés de l’angle droit sont dans le rapport 1 :2.
Il en résulte que FIW = CIR = ARF. Les quatre points A,C,R et I sont donc cocycliques. I est donc sur le même cercle que A,P,R et C.
Question n°2
D’après le lemme 1, les droites AP et CR sont confondues avec les droites AT et CV. Soit Q leur point d’intersection. D’après l’homothétie CR = CV/3. Comme ACV est rectangle isocèle, CV = AC 2=3 2. D’où CR = 2. D’autre part PCT = ARV = ACV =
4. On en déduit ACP = TCQ. Le triangle ACT étant isocèle de sommet C, il en est de même du triangle PCQ de sommet C. D’où CQ = CP = RV = 2 2.
Les points R et Q donnent bien une trisection du segment CV. A noter que le point Q (point de Nagel du triangle ABC) est sur le cercle inscrit et se trouve diamétralement opposé au point de contact E du cercle avec le côté AC.
