D1853. De retour de Djakarta
Dans le triangle ABC dont I est le centre du cercle inscrit, les droites AD, BE etCF se coupent enP.
SoitQ=EF ∩BC. Qest le pˆole deADpar rapport au cercle inscrit. C’est aussi le pˆole deADpar rapport aux droitesABetAC puisqueBEetCF se coupent en P, et doncQI est perpendiculaire `aAD.
Les pointsB,C,D etQforment une division harmonique, et le faisceauBI, CI,DI etQI est aussi harmonique.
Donc un triangle tel queIXZ, dont 2 cˆot´es sont parall`eles aux bissectricesBI et CI et le 3`eme est perpendiculaire `aAD a une m´ediane parall`ele `a ID.
1
Γiest le cercle inscrit dans ABC, de centreI.
On double la construction deM,N,G etΓd avec celle deM0,N0,G0 etΓe. K est le centre deΓd.
AD est l’axe radicalΓi/Γd, et BEl’axe radicalΓi/Γe. Les droitesAD,BE et CF sont concourantes enP. Donc l’axe radical Γd/Γe est la droiteCF : F a mˆeme puissance vis-`a-vis deΓd etΓe.
F N.F D =F N0.F E⇒D,E,N etN0sont co-cycliques sur le cercleΓc, de centre J sur la bissectriceCI.
Le cercleΓp de centreF et orthogonal `a Γd, Γe etΓc, coupeΓi enV et W. V W est perpendiculaire `a F I, donc parall`ele `a AB. Sur Γi, les arcsF W et V F sont ´egaux, d’o`u :
F DV\ =F W V\
Les trianglesV N DetW N F sont donc semblables, doncN F.N D =N V.N W et N (etN0) appartiennent `a V W.
I etJ sont sur la bissectrice CI.
J et Ksont sur la m´ediatrice deDN doncJ K est parall`ele `aBI.
I etK sont sur la m´ediatrice deM DdoncIK est perpendiculaire `aAD.
2
K se projette sur BC en Pk milieu de DC, etJ se projette enPj milieu de DPk suivant la d´emonstration du d´ebut, et donc Pk appartient `a Γc.
Par sym´etrie autour deJ K, on aDPk=N N0. N0Pk est parall`ele `aDF, et coupe donc N C en son milieu.
Z =CF∩N0Pk est le barycentre deCN N0 : F H =HZ =ZC/2.
HC = 3×F H
Par projection surN C : N C = 3×GN Par projection surBC : DC = 3×G1D et G1D =GF, ce qui compl`ete la d´emonstration.
3
