TS 8 Interrogation 9A : Correction 12 janvier 2018 Exercice 1 :
SABDCest une pyramide dont la baseABCDest un carr´e.
D´eterminer l’intersection des plans (SBC) et (SAD).
A
B C
D S
Solution: Ces deux plans poss`edentSen commun. Ils ne sont donc pas strictement parall`eles.
Ils ne sont pas confondus (A /∈ (SBC) par exemple) donc ils ne sont pas s´ecants suivant une droite ∆ et cette droite passe parS.
De la droite (BC) de (SBC) et (AD) de (SAD) sont parall`eles.
Par le th´eor`eme du toit, ∆ est aussi parall`ele `a (AD) et (BC).
Ainsi (SAD) et (SBC) sont s´ecants suivant la droite
∆ parall`ele `a (BC) passant parS.
Exercice 2 :
On consid`ere un cubeABCDEF GHdonn´e ci-dessous. On noteM le milieu de [EH],N de celui de [F C] etP le point tel que−−→
HP =14−−→
HG.
A B
C D
E F
G H
M
N P
1. Justifier que les droites (M P) et (F G) sont s´ecantes en un pointL. Construire ce point L.
2. On admet que :
• Les droites (LN) et (CG) sont s´ecantes et on note T leur point d’intersection ;
• Les droites (LN) et (BF) sont s´ecantes et on note Qleur point d’intersection.
Construire la section du cube par le plan (M N P)
Solution:
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A B
C D
E F
G H
M
N P
L
T
Q R
1. Les 4 pointsM,P,F etGsont coplanaires dans le plan (EF G). Le pointP n’appartient pas `a la droite (M H), parall`ele `a (F G) passant par M, donc (M P) et (F G) ne sont pas parall`eles. Les droites (M P) et (F G) sont coplanaires et non parall`eles, donc elles sont s´ecantes.
2. Les pointsM etP appartiennent aux deux plans (M N P) et (EF G), (M P) est l’intersection de ces deux plans.
Le pointLappartient `a la droite (M P) donc au plan (M N P) : la droite (LN) est incluse dans le plan (M N P).
DoncT etQsont des points du plan (M N P).
Les points P et T appartiennent aux deux plans (M N P) et (DCG) donc la droite (P T) est l’intersection de ces deux plans.
La droite (T Q) est incluse dans les deux plans (M N P) et (BCG), donc (T Q) est l’intersection des plans (M N P) et (BCG).
Les plans (ABF) et (DCG) ´etant parall`eles, la droite ∆ intersection des plans (M N P) et(ABF) est parall`ele
`
a la droite (P T) intersection de (DCG) et (M N P).
La droite ∆, parall`ele `a (P T) passant par Q, coupe le segment [AE] enR. La droite (RM) est l’intersection des plans (M N P) et (ADH).
La section du cube par le plan (M N P) est le polygoneM P T QR
