Terminale S Devoir surveillé n˚6 - 17/03/2017 2016 - 2017
EXERCICE 1 (points)
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. On considère les deux fonctionsf etF définies sur Rpar : f(x) =−2(x2−x+ 3)e−2x etF(x) = (x2+ 3)e−2x.
(a) Démontrer queF est une primitive de f sur ]0; +∞[.
(b) En déduire la primitive def qui s’annule en 1.
2. Soitf la fonction définie sur ]1; +∞[ parf(x) = x+ 3 x2+ 6x−7. Déterminer une primitiveF de f sur ]1; +∞[.
• • •
EXERCICE 2 (points)
On considère un cube ABCDEFCH donné en annexe (à rendre avec la copie).
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que−−→
HP = 1 4
−−→HG . Partie A : Section du cube par le plan (MNP)
1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.
Construire le point L
2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersection.
On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection.
(a) Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.
(b) Construire l’intersection des plans (MNP) et (ABF).
3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
Partie B
L’espace est rapporté au repère A ; −−→
AB,−−→
AD,−−→
AE . 1. Recopier et compléter les égalités suivantes :−→
AP =. . .+−−→
EH+. . .=. . .−−→
AB+. . .−−→
AD+. . .−→
AE.
2. En déduire les coordonnées deP et donner les coordonnées des pointsM,N dans ce repère.
3. On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (T E) est : (T E) :
x= 8u
y= 8u u∈R, z= 1−3u
On admet aussi que les coordonnées du pointP sont (14; 1; 1).
(a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BP).
(b) Étudier la position relative des droites (BP) et (T E).
(c) Déterminer la valeur du paramètreu correspondant au pointT de la droite (T E). En déduire les coordonnées deT.
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Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 3
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EXERCICE 3 (points)
f est la fonction exponentielle définie sur l’intervalle [0; 1], f(x) = ex.C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;−→
i;−→ j).
On se propose déterminer l’aireAdu domaine délimité par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x= 0 etx= 1.
Soit q6= 1 etn∈N∗. On rappelle la formule 1 +q+q2+. . .+qn−1= qn−1 q−1 .
PARTIE 1 : On découpe l’intervalle en 5 intervalles de largeur 15 comme cela est indiqué sur le dessin
1 2
O 1
y= ex
1 5
2 5
3 5
4 5
1. Prouver que 1 + e15 + e25 + e35 + e45 = e −1 e15 −1 2. On notes5 la somme des aires des rectangles hachurés.
Prouver ques5 = 1
5× e −1 e15 −1.
Donner une valeur approchée par défaut à 2 décimales de s5.
3. On note S5 la somme des aires des rectangles coloriés.
a. Par des considérations graphiques, prouver que S5 =s5+1
5×( e −1)
b. En déduire queS5 =s5× e15. Donner une valeur approchée par excès à 2 décimales de S5. 4. Donner un encadrement de l’aire A.
PARTIE 2 : Soit n∈N∗. On découpe l’intervalle en n intervalles de largeur n1. On notesn la somme des aires des rectangles hachurés et Snla somme des rectangles coloriés.
1 2
O 1
y= ex
1 n
2 n
3 n
n−1 n
. . .
1 2
O 1
y= ex
1 n
2 n
3 n
n−1 n
. . .
1. Prouver que, pour toutn∈N∗,sn= 1
n× e −1 en1 −1
. On admet que, pour toutn∈N∗,Sn=sn×en1. 2. En déduire un encadrement deA.
3. On rappelle que lim
x→0
ex−1
x = 1. En utilisant le théorème des gendarmes, donner la valeur exacte de A.
Lycée Bertran de Born - Périgueux 2 sur 3
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Annexe
A rendre avec la copie
+
+ +
A B
D C
E F
G H
M
N P
Lycée Bertran de Born - Périgueux 3 sur 3
