AP 14 - Géométrie dans l’espace - TS
Exercice 1 Amérique du Nord 2014
On considère un cubeABC DE F G H.
On noteM le milieu du segment [E H],Ncelui de [F C] etPle point tel que−−→
H P =1 4
−−→HG.
Partie A : Section du cube par le plan (M N P)
1. Justifier que les droites (M P) et (F G) sont sécantes en un pointL.
Construire le pointL.
2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on noteT leur point d’intersection.
On admet que les droites (LN) et (B F) sont sécantes et on noteQ leur point d’intersection.
a. Construire les pointsT etQen laissant apparents les traits de construction.
b. Construire l’intersection des plans (M N P) et (AB F).
3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (M N P).
Partie B
L’espace est rapporté au repère (
A;−−→
AB ,−−→
AD,−−→
AE )
.
1. Donner les coordonnées des pointsM,NetPdans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées du pointL.
3. On admet que le pointT a pour coordonnées (
1; 1;5 8 )
. Le triangleT P N est-il rectangle enT?
A B
E F
G
C H
D
N P
M
Exercice 2 Polynésie septembre 2008 On donne la propriété suivante :
"par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée"
Sur la figure on a représenté le cubeABC DE F G Hd’arête 1.
B C
D A
G H
F
E
I J
K
On a placé :
• les pointsI etJ tels que−→
B I =2 3
−−→BC et−→
E J =2 3
−−→E H.
• le milieuK de [I J].
On appellePle projeté orthogonal deGsur le plan (F I J).
Partie A
1. Démontrer que le triangleF I Jest isocèle enF.
En déduire que les droites (F K) et (I J) sont orthogonales.
On admet que les droites (GK) et (I J) sont orthogonales.
2. Démontrer que la droite (I J) est orthogonale au plan (F GK).
3. Démontrer que la droite (I J) est orthogonale au plan (F GP).
4. a. Montrer que les pointsF,G,K etP sont coplanaires.
b. En déduire que les pointsF,PetK sont alignés.
Partie B
L’espace est rapporté au repère orthogonal (
A;−−→
AB ,−−→
AD,−−→
AE )
.
On appelleNle point d’intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).
1. Donner les coordonnées des pointsF,G,I etJ.
2. Montrer que la droite (G N) est orthogonale aux droites (F I) et (F J).
2
Résultats ou indices
Ex. 1
Partie A 1.(E H)et(F G)sont parallèles,M∈(E H)mais pas ....
3.
Partie B 1.M(0; 0, 5; 1)N(1; 0, 5; 0, 5)P(0, 25; 1; 1)2.L(1; 2, 5; 1)Utiliser les représentations paramétriques des droites(M P)et(F G)3.Non.Calculer les distances...
Ex. 2
Partie A 1.Calculer les distances....3.(PG)est orthogonal à toutes les droites du plan....4.a.(F GP)et (F GK)sont orthogonaux à la même droite....4.b.Démontrer que les points F , P et K appartiennent à l’intersection de deux plans....
Partie B 1.F(1; 0; 1)G(1; 1; 1)I(1; /f23; 0)J(0:/f23; 1)2.(GP)est orthogonal à(F I J)donc au droites... . N appartient à ..., donc...3.Non.Calculer les distances...
3
