AP 11 - Géométrie dans l’espace 1/2 - TS
Exercice 1
Construire sans démonstration, mais avec les traits de construction mis en évidence, la section du cube par le plan (M N P ).
φ
E H
F G
D
C
A
B
⇒ Voir repère
⇒ Cacher repère
M P
N
Exercice 2
Construire sans démonstration, mais avec les traits de construction mis en évidence, la section du
cube par le plan (M N P ).
φ
E H
F G
D
C
A
B
⇒ Voir repère
⇒ Cacher repère
M P
N
Exercice 3 Amérique du Nord 2014
On considère un cube ABC DE F G H .
On note M le milieu du segment [E H], N celui de [F C ] et P le point tel que −−→
H P = 1 4
−−→ HG .
Partie A : Section du cube par le plan (M N P )
1. Justifier que les droites (M P ) et (F G) sont sécantes en un point L.
Construire le point L.
2. On admet que les droites (LN ) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersection.
On admet que les droites (LN ) et (B F ) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection.
a. Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.
b. Construire l’intersection des plans (M N P ) et (AB F ).
2
3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (M N P).
Partie B
L’espace est rapporté au repère (
A; −−→
AB , −−→
AD , −−→
AE )
.
1. Donner les coordonnées des points M , N et P dans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées du point L.
3. On admet que le point T a pour coordonnées (
1; 1; 5 8 )
. Le triangle T P N est-il rectangle en T ?
A B
E F
G
C H
D
N P
M
Exercice 4 Polynésie septembre 2008 On donne la propriété suivante :
"par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée"
Sur la figure on a représenté le cube ABC DE F G H d’arête 1.
B C
D A
G H
F
E
I J
K
On a placé :
• les points I et J tels que −→
B I = 2 3
−−→ BC et −→
E J = 2 3
−−→ E H .
• le milieu K de [I J].
On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (F I J).
Partie A
1. Démontrer que le triangle F I J est isocèle en F .
En déduire que les droites (F K ) et (I J ) sont orthogonales.
On admet que les droites (GK ) et (I J) sont orthogonales.
2. Démontrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (F GK ).
3. Démontrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (F GP ).
4. a. Montrer que les points F,G, K et P sont coplanaires.
b. En déduire que les points F, P et K sont alignés.
Partie B
L’espace est rapporté au repère orthogonal (
A ; −−→
AB , −−→
AD , −−→
AE )
.
On appelle N le point d’intersection de la droite (GP ) et du plan (ADB ).
1. Donner les coordonnées des points F,G, I et J .
2. Montrer que la droite (G N ) est orthogonale aux droites (F I ) et (F J ).
4
Résultats ou indices
Ex.1
φ
E H
F G
D
C
A
B
⇒ Voir repère
⇒ Cacher repère
M P
N
L d
Q
Ex.2
E H
F G
D
C
A
B
M P
N l
d
q r
