2nd 6 Interrogation 14A : Correction 14 mai 2016 Exercice 1 :
ABCDEF est un prisme droit.
On a donc les plans (ABC) et (DEF) qui sont parall`eles et les faces ABED, ACF D etBCF E sont des rectangles. On placeImilieu de [BE],J milieu de [EF].
1. PlacerK un point de l’arrˆete [AB] pas trop proche deAetB.
2. a. Montrer que les droites (KI) et (DE) sont s´ecantes en un point que l’on ap- pelleraL
b. D´emontrer que les plans (IJ K) et (DEF) sont s´ecants suivant la droite (J L).
3. On appelle ∆ la droite d’intersection du plan (IJ K) avec le plan (ABC).
a. En utilisant le th´eor`eme d’incidence, montrer que ∆ est parall`ele `a (J L).
b. Tracer cette droite sur la figure.
c. En d´eduire une construction de la section de prisme par le plan (IJ K) (on tracera cette section en rouge).
4. a. D´emontrer que (IJ) et (F B) sont parall`eles.
b. On appelle ∆0 la droite d’intersection des plans (J ID) et (F BD). Tracer cette droite sur la figure en justifiant.
A
B D C
E F
I J
Solution:
1. Voir figure
a. K et I sont dans le plan (ADE) donc (KI) et (DE) sont coplanaires.
Comme elles ne sont pas parall`eles, elles sont s´ecantes.
b. L∈(KI) doncL∈(IJ K) donc (J L) contenue dans le plan(IJ K).
L∈(DE) doncL ∈(DEF). J ∈(EF) donc J ∈(DEF) donc (J L) est contenue dans le plan (DEF).
(J L) est bien l’intersection des plans (IJ K) et (DEF).
a. (DEF) et (ABC) sont parall`eles. (IJ K) coupe (DEF) en (J L). Par la propri´et´e d’incidence, (IJ K) intersecte (DEF) suivant une parall`ele `a (J L).
b. De plusK appartient `a cette intersection. ∆ est donc la parall`ele `a (J L) passant parK.
c. SoitGl’intersection de ∆ et (AC). SoitH l’intersection de (J L) et (DF).
La section du prisme est le pentagoneHJ IKG.
a. Dans le triangle BF E, I milieu de [EB] et J milieu de [EF]. Par le th´eor`eme des milieux, (IJ)//(BF).
b. Les plans (J ID) et (F BD) sont s´ecants en ∆0. 1. (J I) est contenue dans (J ID).
2. (F B) est contenue dans (F BD).
3. (J I)//(F B)
Par le th´eor`eme du toit, (J ID) et (F BD) se coupent en une droite pa- rall`ele `a (F B).
On sait de plus queD∈∆0.
A
B D C
E F
I J
K
L
∆
G H
∆0
